Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{5}{x - 2}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{x - 2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$f' (x) = - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{x - 2}$

Paso 1.1.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$f' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{- 1}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$f' (x) = - 5 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$f' (x) = - 5 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f' (x) = 5 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 1.1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 5 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Paso 1.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 5 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Paso 1.1.1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 5 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 1.1.1.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = 5 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.5.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$f' (x) = 5 {(x - 2)}^{- 2}$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{1}{{(x - 2)}^{2}})$

Paso 1.1.1.4.2

Combina $5$ y $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{{(x - 2)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 2)}^{2}})$

Paso 1.1.2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ como ${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({({(x - 2)}^{2})}^{- 1})$

Paso 1.1.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2 \cdot - 1})$

Paso 1.1.2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{- 2})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = 5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$f'' (x) = 5 (- 2 {(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$f'' (x) = - 10 ({(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 1.1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 10 {(x - 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 {(x - 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Paso 1.1.2.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 10 {(x - 2)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 1.1.2.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 10 {(x - 2)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 {(x - 2)}^{- 3}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.2.1

Combina $- 10$ y $\frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{10}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{10}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$- \frac{10}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{10}{{(x - 2)}^{3}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{10}{{(x - 2)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$10 = 0$

Paso 1.2.3

Como $10 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = - \frac{5}{x - 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{5}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{10}{{((0) - 2)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Resta $2$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{10}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{10}{- 8}$

Paso 4.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ y $- 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (5)}{- 8}$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = - \frac{5}{- 4}$

Paso 4.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = \frac{5}{4}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, 2)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = - \frac{10}{{((4) - 2)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Resta $2$ de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{10}{2^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = - \frac{10}{8}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $10$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f'' (4) = - \frac{2 (5)}{8}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (4) = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (4) = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (4) = - \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ es negativa.

Cóncavo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, 2)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7