Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{9 - x^{2}}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $\frac{1}{9 - x^{2}}$ como ${(9 - x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(9 - x^{2})}^{- 1})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.1.1.3.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Paso 1.1.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 1.1.1.3.5

Multiplica.

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Paso 1.1.1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.3.5.2

Multiplica ${(9 - x^{2})}^{- 2}$ por $1$ .

$f' (x) = {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = {(9 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.1.1.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de ${(9 - x^{2})}^{- 2}$ .

$f' (x) = 2 \cdot ({(9 - x^{2})}^{- 2} x)$

Paso 1.1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{{(9 - x^{2})}^{2}}) \cdot x$

Paso 1.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.1

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.5.1.1

Combina $2$ y $\frac{1}{{(9 - x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(9 - x^{2})}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.1.5.1.2

Combina $\frac{2}{{(9 - x^{2})}^{2}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(9 - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(- x^{2} + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{({(- x^{2} + 9)}^{2})}^{2}})$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 9)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{2 \cdot 2}})$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica ${(- x^{2} + 9)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = - x^{2} + 9$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Paso 1.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (2 (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Paso 1.1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Paso 1.1.2.5.2

Factoriza $- x^{2} + 9$ de ${(- x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 9])$ .

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Paso 1.1.2.5.2.1

Factoriza $- x^{2} + 9$ de ${(- x^{2} + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Paso 1.1.2.5.2.2

Factoriza $- x^{2} + 9$ de $- 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 9])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) + (- x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Paso 1.1.2.5.2.3

Factoriza $- x^{2} + 9$ de $(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) + (- x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 9]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Paso 1.1.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $- x^{2} + 9$ de ${(- x^{2} + 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{(- x^{2} + 9) {(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{(- x^{2} + 9) {(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.11

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x + 0)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.12.1

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.12.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x \cdot x}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 (x \cdot x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 (x \cdot x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x^{1 + 1}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.16

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.17

Suma $- x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{3 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Paso 1.1.2.18

Combina $2$ y $\frac{3 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 1.1.2.19

Simplifica.

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Paso 1.1.2.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 1.1.2.19.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.19.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 2 \cdot 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 1.1.2.19.2.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$6 x^{2} + 18 = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Resta $18$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} = - 18$

Paso 1.2.3.2

Divide cada término en $6 x^{2} = - 18$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Divide cada término en $6 x^{2} = - 18$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{- 18}{6}$

Paso 1.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{- 18}{6}$

Paso 1.2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{6}$

Paso 1.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.3.1

Divide $- 18$ por $6$ .

$x^{2} = - 3$

Paso 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 1.2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 1.2.3.4.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 1.2.3.4.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 1.2.3.4.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Paso 1.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

Paso 1.2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 1.2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{9 - x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{1}{9 - x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$9 - x^{2} = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 9$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.1

Divide $- 9$ por $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Paso 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 2.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 2.2.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 2.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 2.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 2.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 3, - 3}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 3, - 3}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{6 {(- 6)}^{2} + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{6 \cdot 36 + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $6$ por $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{216 + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 4.2.1.3

Suma $216$ y $18$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 1 \cdot 36 + 9)}^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 36 + 9)}^{3}}$

Paso 4.2.2.3

Suma $- 36$ y $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 27)}^{3}}$

Paso 4.2.2.4

Eleva $- 27$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{- 19683}$

Paso 4.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común de $234$ y $- 19683$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Factoriza $9$ de $234$ .

$f'' (- 6) = \frac{9 (26)}{- 19683}$

Paso 4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1.2.1

Factoriza $9$ de $- 19683$ .

$f'' (- 6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Paso 4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{26}{- 2187}$

Paso 4.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 6) = - \frac{26}{2187}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $- \frac{26}{2187}$ .

$- \frac{26}{2187}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 3, 3)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{6 {(0)}^{2} + 18}{{(- {(0)}^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 0 + 18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $0$ y $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(- 0 + 9)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 9)}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Suma $0$ y $9$ .

$f'' (0) = \frac{18}{9^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{729}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $18$ y $729$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{729}$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $9$ de $729$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 81}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 81}$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{2}{81}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{81}$ .

$\frac{2}{81}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 3, 3)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 3, 3)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(3, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f'' (6) = \frac{6 {(6)}^{2} + 18}{{(- {(6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $6$ por $6^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.1.1

Multiplica $6$ por $6^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $1$ .

$f'' (6) = \frac{6 \cdot 6^{2} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (6) = \frac{6^{1 + 2} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 6.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{3} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f'' (6) = \frac{216 + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Suma $216$ y $18$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 1 \cdot 36 + 9)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 36 + 9)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Suma $- 36$ y $9$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 27)}^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 27$ a la potencia de $3$ .

$f'' (6) = \frac{234}{- 19683}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común de $234$ y $- 19683$ .

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Paso 6.2.3.1.1

Factoriza $9$ de $234$ .

$f'' (6) = \frac{9 (26)}{- 19683}$

Paso 6.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1.2.1

Factoriza $9$ de $- 19683$ .

$f'' (6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Paso 6.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (6) = \frac{26}{- 2187}$

Paso 6.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (6) = - \frac{26}{2187}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{26}{2187}$ .

$- \frac{26}{2187}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(3, \infty)$ porque $f'' (6)$ es negativa.

Cóncavo en $(3, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 3, 3)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(3, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8