Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\cot (x)}{\sin (x)}$

Paso 1

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}]$

Paso 2

Reescribe $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ como un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}]$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}]$

Paso 3.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = \csc (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 5

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 6

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 7

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 10

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Paso 11

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}$

Paso 13

Suma $1$ y $2$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Paso 14

Reordena los términos.

$- \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x)$