Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ y $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.7

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.10

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.2.1.1

Expande $(x - 2) (2 x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.1.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 x - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Resta $4 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 + 2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.3

Suma $- 6 x$ y $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.4

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Factoriza $x^{2} - 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 1.1.1.3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 3$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia.

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Paso 1.1.2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.4.2

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.2.4.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.8.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + x - 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 3 - 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.8.4

Resta $1$ de $- 3$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.2.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.6.2

Factoriza $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4)$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.6.2.2

Factoriza $x - 2$ de $- 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.6.2.3

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.7.1

Factoriza $x - 2$ de ${(x - 2)}^{4}$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.10

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.11.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12

Simplifica.

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Paso 1.1.2.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.12.2.1.1

Expande $(x - 2) (2 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.12.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x - 4) - 2 (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.2.12.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.12.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.12.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.2.1.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x + 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.2.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + (- 2 x + 6) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.4

Expande $(- 2 x + 6) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.12.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x (x - 1) + 6 (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 6 (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.2.12.2.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.12.2.1.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.12.2.1.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 2 x + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.5.1.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 2 x + 6 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.1.5.2

Suma $2 x$ y $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x - 6$ .

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Paso 1.1.2.12.2.2.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x + 8 + 0 + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.2.2

Suma $- 8 x + 8$ y $0$ .

$\frac{- 8 x + 8 + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.2.3

Suma $- 8 x$ y $8 x$ .

$\frac{0 + 8 - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.2.4

Suma $0$ y $8$ .

$\frac{8 - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12.2.3

Resta $6$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 2)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.1

Resta $2$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 8}$

Paso 4.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 8$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (0) = \frac{2 (1)}{- 8}$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{1}{- 4}$

Paso 4.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = - \frac{1}{4}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = \frac{2}{{((4) - 2)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1

Resta $2$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{2}{2^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{2}{8}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (4) = \frac{2 (1)}{8}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (4) = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ es positiva.

Convexo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7