Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 x^{2} + 1}$ como ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 9 x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.8

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.8.3

Mueve ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.10

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.12

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.14

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.14.1

Suma $18 x$ y $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.14.2

Combina $18$ y $\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{18 x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.14.3

Combina $\frac{18 x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{\frac{18 x \cdot x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{18 (x^{1} x)}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{18 (x^{1} x^{1})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{18 x^{1 + 1}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.18

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.19

Factoriza $2$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.20

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.20.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.20.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.21

Multiplica $\frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ por $\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.22

Combinar.

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.23

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.24

Cancela el factor común de ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.24.1

Cancela el factor común.

Paso 1.1.1.24.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.25

Multiplica ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.25.1

Mueve ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.25.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.25.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.25.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.25.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.26

Simplifica ${(9 x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])$ .

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.27

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) (- 1 \cdot 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.28

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.28.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) \cdot - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.28.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{9 x^{2} - 1 \cdot (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.28.3

Reescribe $- 1 (9 x^{2} + 1)$ como $- (9 x^{2} + 1)$ .

$\frac{9 x^{2} - (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.29

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.29.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 x^{2} - (9 x^{2}) - 1 \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.29.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.29.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.29.2.1.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{9 x^{2} - 9 x^{2} - 1 \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.29.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{9 x^{2} - 9 x^{2} - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.29.2.2

Resta $9 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{0 - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.29.2.3

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.29.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 1.1.1.29.4

Reordena los factores en $- \frac{1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (- {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.4

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 ({(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ por $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 9 x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $9 x^{2} + 1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $9 x^{2} + 1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.11

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.11.3

Mueve ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.11.4

Combina $\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.13

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.15

Multiplica $2$ por $9$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.16

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.17

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.17.1

Suma $18 x$ y $0$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.17.2

Combina $18$ y $\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.17.3

Combina $\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{2} x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.18

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 (x^{1} x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{1 + 2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.20

Suma $1$ y $2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{3}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.21

Factoriza $2$ de $18 x^{3}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.22

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.22.1

Factoriza $2$ de $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.22.2

Cancela el factor común.

Paso 1.1.2.22.3

Reescribe la expresión.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.23

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.24

Mueve $2$ a la izquierda de ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.25

Combina $\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ mediante un denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.25.1

Mueve ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.25.2

Para escribir $2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.25.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.26

Multiplica ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.26.1

Mueve ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.26.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.26.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.26.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.26.5

Divide $2$ por $2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{1}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.27

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.27.1

Simplifica $2 x {(9 x^{2} + 1)}^{1}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.27.2

Combina ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ y $\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1))}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.27.3

Mueve ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.28

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.29

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.29.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 0$

Paso 1.1.2.29.2

Suma $\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ y $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.2.30

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.1

Aplica la regla del producto a $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2}) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.3.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{3} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.3.1.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{9 x^{3} + 18 x^{3} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 18 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.3.2

Suma $9 x^{3}$ y $18 x^{3}$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2 \cdot 2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.1.2.30.4.2

Multiplica los exponentes en ${({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 1.1.2.30.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 1.1.2.30.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{1})}$

Paso 1.1.2.30.4.3

Simplifica.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} (9 x^{2} + 1))}$

Paso 1.1.2.30.4.4

Multiplica ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $9 x^{2} + 1$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.4.4.1

Mueve $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{(9 x^{2} + 1) {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Paso 1.1.2.30.4.4.2

Multiplica $9 x^{2} + 1$ por ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.4.4.2.1

Eleva $9 x^{2} + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{1} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Paso 1.1.2.30.4.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}} x^{4}}$

Paso 1.1.2.30.4.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{4}}$

Paso 1.1.2.30.4.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}} x^{4}}$

Paso 1.1.2.30.4.4.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{4}}$

Paso 1.1.2.30.5

Reordena los términos.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.2.30.6

Factoriza $x$ de $27 x^{3} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.6.1

Factoriza $x$ de $27 x^{3}$ .

$\frac{x (27 x^{2}) + 2 x}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.2.30.6.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x (27 x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.2.30.6.3

Factoriza $x$ de $x (27 x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.2.30.7

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.30.7.1

Factoriza $x$ de $x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x (x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 1.1.2.30.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x (x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 1.1.2.30.7.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$27 x^{2} + 2 = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$27 x^{2} = - 2$

Paso 1.2.3.2

Divide cada término en $27 x^{2} = - 2$ por $27$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Divide cada término en $27 x^{2} = - 2$ por $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{- 2}{27}$

Paso 1.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{- 2}{27}$

Paso 1.2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{27}$

Paso 1.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{2}{27}$

Paso 1.2.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{27}}$

Paso 1.2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{2}{27}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.1

Reescribe $- \frac{2}{27}$ como ${(\frac{i}{3})}^{2} \frac{2}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{27}}$

Paso 1.2.3.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $2$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 2}{27}}$

Paso 1.2.3.4.1.3

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $27$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 2}{3^{2} \cdot 3}}$

Paso 1.2.3.4.1.4

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} \cdot 2}{3^{2} \cdot 3}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2}{3})}$

Paso 1.2.3.4.1.5

Reescribe $i^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$ como ${(\frac{i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{3})}^{2} \frac{2}{3}}$

Paso 1.2.3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{i}{3} \sqrt{\frac{2}{3}}$

Paso 1.2.3.4.3

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.4.4

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 1.2.3.4.5

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.4.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.4.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 1.2.3.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.3.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 1.2.3.4.5.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.3.4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 1.2.3.4.5.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.4.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Paso 1.2.3.4.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 1.2.3.4.7

Multiplica $\frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.7.1

Multiplica $\frac{i}{3}$ por $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.7.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Paso 1.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Paso 1.2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Paso 1.2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{9}, - \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece el radicando en $\sqrt{9 x^{2} + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$9 x^{2} + 1 \geq 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$9 x^{2} \geq - 1$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $9 x^{2} \geq - 1$ por $9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $9 x^{2} \geq - 1$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} \geq \frac{- 1}{9}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x^{2}}{9} \geq \frac{- 1}{9}$

Paso 2.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{9}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} \geq - \frac{1}{9}$

Paso 2.2.3

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Paso 2.3

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{27 {(- 2)}^{2} + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{27 \cdot 4 + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $27$ por $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{108 + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.1.3

Suma $108$ y $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(9 \cdot 4 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.2.2.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(36 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.2.3

Suma $36$ y $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.3

Factoriza $2$ de $110$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (55)}{- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (55)}{2 (- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Paso 4.2.4.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 55}{2 (- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Paso 4.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{55}{- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 2) = - \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es $- \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{27 {(2)}^{2} + 2}{{(2)}^{3} {(9 {(2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = \frac{27 \cdot 4 + 2}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $27$ por $4$ .

$f'' (2) = \frac{108 + 2}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $108$ y $2$ .

$f'' (2) = \frac{110}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(9 \cdot 4 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.2.2.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(36 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.2.3

Suma $36$ y $1$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.3

Factoriza $2$ de $110$ .

$f'' (2) = \frac{2 (55)}{8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Factoriza $2$ de $8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (55)}{2 (4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 55}{2 (4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Paso 5.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f'' (2) = \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $\frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7