Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 2 x$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.9.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.9.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x)) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.3.1.1

Expande $(x^{2} - 4) (2 x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.3.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 2) - 4 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.3.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2.5

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 (x \cdot x))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8 x + 8 + 0 + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.2.2

Suma $- 2 x^{2} - 8 x + 8$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8 x + 8 + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.3

Suma $- 2 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 8 x + 8$ .

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Paso 1.1.1.3.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) - 8 x + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.1.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1.3.4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 1.1.1.3.4.2.3

Reescribe el polinomio.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1.3.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.3

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.6

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.6.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.2.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 2)}^{2}})$

Paso 1.1.2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ como ${({(x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 2)}^{2})}^{- 1})$

Paso 1.1.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2 \cdot - 1})$

Paso 1.1.2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{- 2})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 2))$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 {(x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 ({(x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Paso 1.1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (2))$

Paso 1.1.2.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 1.1.2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.2.4.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 = 0$

Paso 1.2.3

Como $4 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{((- 4) + 2)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.1

Suma $- 4$ y $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{- 8}$

Paso 4.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $- 8$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (1)}{- 8}$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 4) = - \frac{1}{- 2}$

Paso 4.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 4) = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 2)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 2, 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{4}{{((0) + 2)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1

Suma $0$ y $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{2^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{8}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (1)}{8}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 2, 2)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 2, 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = - \frac{4}{{((4) + 2)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Suma $4$ y $2$ .

$f'' (4) = - \frac{4}{6^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = - \frac{4}{216}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $216$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{4 (1)}{216}$

Paso 6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $216$ .

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 54}$

Paso 6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 54}$

Paso 6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (4) = - \frac{1}{54}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{54}$ .

$- \frac{1}{54}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ es negativa.

Cóncavo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 2)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 2, 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Cóncavo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8