Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}]$

Paso 1.1.1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 - x^{\frac{1}{2}}] - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.13

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.14

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.16

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.16.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.16.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.18

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.19

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20

Simplifica.

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Paso 1.1.1.20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (- 1 \cdot 1 - - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.20.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.20.4.1.1

Multiplica $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.1.1.20.4.1.3.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.3.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.3.3

Cancela el factor común.

Paso 1.1.1.20.4.1.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.5

Reescribe $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ como $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.6

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.1.1.20.4.1.6.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- - x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.6.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.1.8

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.2

Combina los términos opuestos en $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.1.1.20.4.2.1

Suma $- \frac{1}{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.2.2

Suma $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 1 - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.4

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.5

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.20.4.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.5

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.20.5.1

Reescribe $\frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ como un producto.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.1.20.5.2

Multiplica $\frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.20.6

Reordena los factores en $- \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- (- {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.4

Multiplica.

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Paso 1.1.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 ({(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}$ por $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.7

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.7.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.7.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.7.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.7.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.11.2

Resta $2$ de $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.12.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12.3

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.12.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12.4.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12.5

Cancela el factor común.

Paso 1.1.2.12.6

Reescribe la expresión.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12.7

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12.8

Cancela el factor común.

Paso 1.1.2.12.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.12.9.1

Reescribe la expresión.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12.9.2

Multiplica $1 + x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.14

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.15

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.17

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.17.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.17.2

Resta $2$ de $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.18

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.18.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.18.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.18.3

Combina ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.18.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.18.4.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.18.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.18.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.19

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

Paso 1.1.2.20

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.1

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ por $0$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 0$

Paso 1.1.2.20.2

Suma ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ y $0$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2.21

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2.21.2

Aplica la regla del producto a $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2.21.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2.21.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2.21.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{1} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2.21.3.2

Simplifica.

$\frac{1}{x {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2.21.3.3

Multiplica los exponentes en ${({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2 \cdot 2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2.21.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2.21.4

Reordena los factores de $\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.5.1

Reescribe ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ como $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.2

Expande $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.5.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.3.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.3.1.3

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.3.1.4

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.5.3.1.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.3.1.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.3.1.4.3

Suma $1$ y $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.3.1.4.4

Divide $2$ por $2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.3.1.5

Simplifica $x^{1}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.3.2

Suma $x^{\frac{1}{2}}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.4

Suma $2 x^{\frac{1}{2}}$ y $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.5.5

Reordena los términos.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.6

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.7

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.21.9.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.9.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{1} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.3

Simplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{2 x + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.4

Suma $2 x$ y $x$ .

$\frac{3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.5

Reescribe $3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1$ en forma factorizada.

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Paso 1.1.2.21.9.5.1

Reescribe $x$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.5.2

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.5.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.2.21.9.5.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ y cuya suma es $b = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.21.9.5.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.5.3.1.2

Reescribe $4$ como $1$ más $3$

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.5.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.5.3.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.5.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.21.9.5.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.5.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.5.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 1$ .

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.9.5.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.10

Combinar.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4})}$

Paso 1.1.2.21.11

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.21.11.1

Mueve $x$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.11.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.1.2.21.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.11.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.11.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.12

Multiplica $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ por $1$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.13

Reordena los términos.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.14

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} + 1$ de $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

Paso 1.1.2.21.15

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.21.15.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} + 1$ de $2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

Paso 1.1.2.21.15.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

Paso 1.1.2.21.15.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{\frac{1}{2}} = - 1$

Paso 1.2.3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 1.2.3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.3.3.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.3.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.3.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.3.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.3.3.1.1.4

Simplifica.

$9 x = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$9 x = 1$

Paso 1.2.3.4

Divide cada término en $9 x = 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.4.1

Divide cada término en $9 x = 1$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 1.2.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.4.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.2.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 1.2.3.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Paso 1.2.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

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Paso 2.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 2.2

Establece el denominador en $\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 + \sqrt{x} = 0$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x} = - 1$

Paso 2.3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 2.3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 2.3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Paso 2.3.3.2.1.2

Simplifica.

$x = {(- 1)}^{2}$

Paso 2.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = 1$

Paso 2.3.4

Excluye las soluciones que no hagan que $1 + \sqrt{x} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 2.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$[0, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $[0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(2)}^{\frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(2)}^{\frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{1 + \frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{2 + 3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.4

Suma $2$ y $3$ .

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

$f'' (2) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $[0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $[0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5