Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 1$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((2 x - 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.10.1

Suma $2$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.2

Resta $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 2 x + 2$ .

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Paso 1.1.1.3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.4

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - x) + 2 (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{({(2 x - 1)}^{2})}^{2}})$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2 \cdot 2}})$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.3.8

Suma $2 x - 1$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.4

Multiplica ${(2 x - 1)}^{2}$ por $2 x - 1$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.4.1

Multiplica ${(2 x - 1)}^{2}$ por $2 x - 1$ .

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Paso 1.1.2.4.1.1

Eleva $2 x - 1$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2 + 1} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.4.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.2.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.6.2

Factoriza $2 x - 1$ de ${(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $2 x - 1$ de ${(2 x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.6.2.2

Factoriza $2 x - 1$ de $- 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.6.2.3

Factoriza $2 x - 1$ de $(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Paso 1.1.2.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.7.1

Factoriza $2 x - 1$ de ${(2 x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.7.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.11

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.13

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.13.1

Suma $2$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.13.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.13.3

Combina $2$ y $\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14

Simplifica.

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Paso 1.1.2.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 {(2 x - 1)}^{2} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.14.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.14.3.1.1

Reescribe ${(2 x - 1)}^{2}$ como $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x - 1) (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.2

Expande $(2 x - 1) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.14.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.2.14.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.14.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.14.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.14.3.1.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.5.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (4 x) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.8

Multiplica $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.9

Multiplica $2 (- 4 \cdot 1)$ .

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Paso 1.1.2.14.3.1.9.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.1.9.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.2

Combina los términos opuestos en $8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8$ .

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Paso 1.1.2.14.3.2.1

Resta $8 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 0 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.2.2

Suma $- 8 x + 2$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.2.3

Suma $- 8 x$ y $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.2.4

Suma $0$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.3.3

Resta $8$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$6 = 0$

Paso 1.2.3

Como $6 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x - 1 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{6}{{(2 (0) - 1)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{{(0 - 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{- 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Divide $6$ por $- 1$ .

$f'' (0) = 6$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f'' (0) = 6$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, \frac{1}{2})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = - \frac{6}{{(2 (3) - 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{{(6 - 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Resta $1$ de $6$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{5^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{125}$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $- \frac{6}{125}$ .

$- \frac{6}{125}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ porque $f'' (3)$ es negativa.

Cóncavo en $(\frac{1}{2}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, \frac{1}{2})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(\frac{1}{2}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7