Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 1.1.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Paso 1.1.1.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 1.1.1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Paso 1.1.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Paso 1.1.2.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 5$ .

$- 4 (- 5 x^{- 6})$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$20 x^{- 6}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.1.2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{x^{6}}$

Paso 1.1.2.5.2

Combina $20$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{6}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{20}{x^{6}}$ .

$\frac{20}{x^{6}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{20}{x^{6}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{20}{x^{6}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$20 = 0$

Paso 1.2.3

Como $20 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{4} = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Paso 2.2.2

Simplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{20}{{(- 2)}^{6}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{20}{64}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $20$ y $64$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 (5)}{64}$

Paso 4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Paso 4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{5}{16}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{20}{{(2)}^{6}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$f'' (2) = \frac{20}{64}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $20$ y $64$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$f'' (2) = \frac{4 (5)}{64}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $64$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (2) = \frac{5}{16}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7