Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ como ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Paso 1.1.1.3.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Paso 1.1.1.3.5

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Paso 1.1.1.3.6

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Paso 1.1.1.3.7

Suma $2 x - 6$ y $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Paso 1.1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 x - 6)$

Paso 1.1.1.5

Reordena los factores de $- \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ .

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [(2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 6) (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}))$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 x - 6$ y $g (x) = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Reescribe $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ como ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.5.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.5.5

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.5.6

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + 0)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.5.7

Suma $2 x - 6$ y $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.6

Eleva $2 x - 6$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.7

Eleva $2 x - 6$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{1 + 1} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Paso 1.1.2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Paso 1.1.2.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Paso 1.1.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Paso 1.1.2.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Paso 1.1.2.14

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

Paso 1.1.2.15

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.15.1

Suma $2$ y $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot 2)$

Paso 1.1.2.15.2

Combina $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ y $2$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Paso 1.1.2.16

Para escribir $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Paso 1.1.2.17

Combina $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ y $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (\frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Paso 1.1.2.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.19

Multiplica ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}$ por ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.19.1

Mueve ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}) {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 - 3} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.19.3

Resta $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x - 7$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 7, 1$

Paso 1.1.2.20.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.4

Reescribe ${(2 x - 6)}^{2}$ como $(2 x - 6) (2 x - 6)$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot ((2 x - 6) (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.5

Expande $(2 x - 6) (2 x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.6.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.6.1.4

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.6.1.5

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.6.1.6

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.6.2

Resta $12 x$ de $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 24 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2}) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.8.1

Multiplica $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (4 x^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.8.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8.1.2

Combina $- 4$ y $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8.1.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8.1.4

Combina $\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8.2

Multiplica $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (- 24 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.8.2.1

Multiplica $- 24$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 24 (\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}) \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8.2.2

Combina $24$ y $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{24 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8.2.3

Multiplica $24$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8.2.4

Combina $\frac{48}{(x - 7) (x + 1)}$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8.3

Multiplica $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.8.3.1

Multiplica $36$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - 36 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8.3.2

Combina $- 36$ y $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 36 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.8.3.3

Multiplica $- 36$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.2.9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{(8) x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.2.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.3.1

Multiplica $\frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ por $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - (\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)} \cdot \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Paso 1.1.2.20.3.2

Combinar.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (\frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.3.4

Cancela el factor común de $(x - 7) (x + 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.3.4.1

Cancela el factor común.

Paso 1.1.2.20.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{- (x - 7) (x + 1) \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.2

Cancela el factor común de $(x - 7) (x + 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.4.2.1

Factoriza $(x - 7) (x + 1)$ de $- (x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - (x - 7) (x + 1) \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.5

Cancela el factor común de $(x - 7) (x + 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.4.5.1

Factoriza $(x - 7) (x + 1)$ de $- (x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.5.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.5.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 1 \cdot 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.6

Multiplica $- 1$ por $72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x + 2 \cdot - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.8

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x - 14) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.9

Expande $(2 x - 14) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x (x + 1) - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.10

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.4.10.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.4.10.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.4.10.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.10.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.10.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.10.1.3

Multiplica $- 14$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.10.2

Resta $14 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.11

Suma $- 8 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 48 x - 72 - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.12

Resta $12 x$ de $48 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 72 - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.13

Resta $14$ de $- 72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.14

Factoriza $2$ de $- 6 x^{2} + 36 x - 86$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.4.14.1

Factoriza $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.14.2

Factoriza $2$ de $36 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.14.3

Factoriza $2$ de $- 86$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.14.4

Factoriza $2$ de $2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.4.14.5

Factoriza $2$ de $2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.5.1

Factoriza $x^{2} - 6 x - 7$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 7, 1$

Paso 1.1.2.20.5.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {((x - 7) (x + 1))}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.5.2

Aplica la regla del producto a $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.5.3

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.5.3.1

Multiplica $x - 7$ por ${(x - 7)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.5.3.1.1

Mueve ${(x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.5.3.1.2

Multiplica ${(x - 7)}^{2}$ por $x - 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.5.3.1.2.1

Eleva $x - 7$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.5.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2 + 1} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.5.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.20.5.3.2

Multiplica $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.5.3.2.1

Mueve ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Paso 1.1.2.20.5.3.2.2

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.20.5.3.2.2.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Paso 1.1.2.20.5.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{2 + 1}}$

Paso 1.1.2.20.5.3.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.20.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.20.7

Factoriza $- 1$ de $18 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - (- 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.20.8

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 18 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.20.9

Reescribe $- 43$ como $- 1 (43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 1 \cdot 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.20.10

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2} - 18 x) - 1 (43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.20.11

Reescribe $- (3 x^{2} - 18 x + 43)$ como $- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.20.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2.20.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.20.14

Multiplica $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.1

Divide cada término en $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.1.2.1.2

Divide $3 x^{2} - 18 x + 43$ por $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = 0$

Paso 1.2.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.3.3

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 18$ y $c = 43$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 43)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.1.3

Resta $516$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.1.4

Reescribe $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.1.7

Reescribe $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.1.7.1

Factoriza $64$ de $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.1.7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Paso 1.2.3.4.3

Simplifica $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.5.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.1.3

Resta $516$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.1.4

Reescribe $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.1.7

Reescribe $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.5.1.7.1

Factoriza $64$ de $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.1.7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Paso 1.2.3.5.3

Simplifica $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.6.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.1.3

Resta $516$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.1.4

Reescribe $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.1.7

Reescribe $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.6.1.7.1

Factoriza $64$ de $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.1.7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Paso 1.2.3.6.3

Simplifica $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}, \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x - 7$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 7, 1$

Paso 2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Paso 2.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.2.3

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 2.2.3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 2.2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 7, - 1$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 1, 7}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 1, 7}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} - 18 \cdot - 4 + 43)}{{((- 4) - 7)}^{3} {((- 4) + 1)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 18$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 72 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.4

Suma $48$ y $72$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (120 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.5

Suma $120$ y $43$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Resta $7$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 3)}^{3}}$

Paso 4.2.2.3

Eleva $- 11$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 {(- 3)}^{3}}$

Paso 4.2.2.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 \cdot - 27}$

Paso 4.2.3

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Multiplica $2$ por $163$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{- 1331 \cdot - 27}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $- 1331$ por $- 27$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{35937}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, 7)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 43)}{{((0) - 7)}^{3} {((0) + 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 18$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.4

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.5

Suma $0$ y $43$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $7$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} \cdot 1^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $- 7$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $43$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $- 343$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343}$

Paso 5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = - \frac{86}{343}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \frac{86}{343}$ .

$- \frac{86}{343}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 1, 7)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 1, 7)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(7, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f'' (10) = \frac{2 (3 {(10)}^{2} - 18 \cdot 10 + 43)}{{((10) - 7)}^{3} {((10) + 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 18$ por $10$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 180 + 43)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Suma $- 180$ y $43$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 137)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Convert $- 137$ to scientific notation.

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.4

Factoriza $10^{2}$ de $3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2}$ .

$f'' (10) = \frac{2 ((3 - 1.37) \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.5

Resta $1.37$ de $3$ .

$f'' (10) = \frac{2 \cdot 1.63 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $2$ por $1.63$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.7

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $7$ de $10$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $10$ y $1$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} \cdot 11^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 11^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $11$ a la potencia de $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 1331}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Multiplica $3.26$ por $100$ .

$f'' (10) = \frac{326}{27 \cdot 1331}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $27$ por $1331$ .

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Paso 6.2.3.3

Cancela el factor común de $326$ y $35937$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.3.1

Reescribe $326$ como $1 (326)$ .

$f'' (10) = \frac{1 (326)}{35937}$

Paso 6.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.3.2.1

Reescribe $35937$ como $1 (35937)$ .

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Paso 6.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Paso 6.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(7, \infty)$ porque $f'' (10)$ es positiva.

Convexo en $(7, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 1, 7)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(7, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8