Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{5}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.3.4.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} (2 x)$

Paso 1.1.1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{5} x$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Factoriza $x {(x + 3)}^{4}$ de $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 {(x + 3)}^{5} x$ .

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Paso 1.1.1.4.1.1

Factoriza $x {(x + 3)}^{4}$ de $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4})$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 2 {(x + 3)}^{5} x$

Paso 1.1.1.4.1.2

Factoriza $x {(x + 3)}^{4}$ de $2 {(x + 3)}^{5} x$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$

Paso 1.1.1.4.1.3

Factoriza $x {(x + 3)}^{4}$ de $x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5) + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.1.4.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 (x + 3))$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 2 \cdot 3)]$

Paso 1.1.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 6)]$

Paso 1.1.2.1.2

Suma $5 x$ y $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (7 x + 6)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x {(x + 3)}^{4}$ y $g (x) = 7 x + 6$ .

$x {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x + 6] + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Paso 1.1.2.3.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Paso 1.1.2.3.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Paso 1.1.2.3.5

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + 0) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Paso 1.1.2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.6.1

Suma $7$ y $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} \cdot 7 + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Paso 1.1.2.3.6.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x {(x + 3)}^{4}$ .

$7 \cdot (x {(x + 3)}^{4}) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x + 3)}^{4}$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}] + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.6

Diferencia.

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Paso 1.1.2.6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.6.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.6.4.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \cdot 1)$

Paso 1.1.2.6.6

Multiplica ${(x + 3)}^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = 7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Paso 1.2.2

Simplifica $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Expande $(7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Paso 1.2.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Paso 1.2.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1.3.1.1

Mueve $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 (x \cdot x) (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Paso 1.2.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x^{2} (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Paso 1.2.2.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 \cdot 4 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Paso 1.2.2.1.3.3

Multiplica $7$ por $4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Paso 1.2.2.1.3.4

Multiplica $4$ por $6$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Paso 1.2.2.2

Suma $7 x {(x + 3)}^{4}$ y $7 x {(x + 3)}^{4}$ .

$14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $2 {(x + 3)}^{3}$ de $14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4}$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $2 {(x + 3)}^{3}$ de $14 x {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Paso 1.2.3.1.2

Factoriza $2 {(x + 3)}^{3}$ de $28 x^{2} {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Paso 1.2.3.1.3

Factoriza $2 {(x + 3)}^{3}$ de $24 x {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Paso 1.2.3.1.4

Factoriza $2 {(x + 3)}^{3}$ de $6 {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.1.5

Factoriza $2 {(x + 3)}^{3}$ de $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2})$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.1.6

Factoriza $2 {(x + 3)}^{3}$ de $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.1.7

Factoriza $2 {(x + 3)}^{3}$ de $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3))$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $7 x$ de $7 x (x + 3) + 14 x^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $7 x$ de $14 x^{2}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 7 x (2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.2.2

Factoriza $7 x$ de $7 x (x + 3) + 7 x (2 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3 + 2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.3

Suma $x$ y $2 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 x + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.4

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.1

Factoriza $3$ de $3 x + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.4.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.4.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3 (1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x \cdot (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.5

Multiplica $3$ por $7$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.6

Factoriza $3$ de $12 x + 3 (x + 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.6.1

Factoriza $3$ de $12 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x) + 3 (x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.6.2

Factoriza $3$ de $3 (4 x) + 3 (x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x + x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.7

Suma $4 x$ y $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.8

Factoriza $3$ de $21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.8.1

Factoriza $3$ de $21 x (x + 1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.8.2

Factoriza $3$ de $3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1) + 5 x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x \cdot x + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.10

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.3.10.1

Mueve $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.10.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.11

Multiplica $7$ por $1$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x + 5 x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.12

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.12.1

Suma $7 x$ y $5 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.12.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 {(x + 3)}^{3} \cdot (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Paso 1.2.3.13

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$

Paso 1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Paso 1.2.5

Establece ${(x + 3)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece ${(x + 3)}^{3}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve ${(x + 3)}^{3} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.2.6

Establece $7 x^{2} + 12 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Establece $7 x^{2} + 12 x + 3$ igual a $0$ .

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resuelve $7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 7$ , $b = 12$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 3)}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 28$ por $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.3.1.3

Resta $84$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.3.1.4

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Paso 1.2.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Paso 1.2.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.4.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 28$ por $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.4.1.3

Resta $84$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.4.1.4

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Paso 1.2.6.2.4.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Paso 1.2.6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 6 + \sqrt{15}}{7}$

Paso 1.2.6.2.4.5

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{15}}{7}$

Paso 1.2.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{15})}{7}$

Paso 1.2.6.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 - \sqrt{15})}{7}$

Paso 1.2.6.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}$

Paso 1.2.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.5.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 28$ por $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.5.1.3

Resta $84$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.5.1.4

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Paso 1.2.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Paso 1.2.6.2.5.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Paso 1.2.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 6 - \sqrt{15}}{7}$

Paso 1.2.6.2.5.5

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{15}}{7}$

Paso 1.2.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{15})}{7}$

Paso 1.2.6.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (6) - (\sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 + \sqrt{15})}{7}$

Paso 1.2.6.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Paso 1.2.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$ verdadera.

$x = - 3, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = 7 (- 6) {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Multiplica $7$ por $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 42 {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.2

Suma $- 6$ y $3$ .

$f'' (- 6) = - 42 {(- 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 6) = - 42 \cdot 81 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 42$ por $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $7$ por $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (- 42 + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.6

Suma $- 42$ y $6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.7.1

Suma $- 6$ y $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 {(- 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.7.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 \cdot - 27) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.7.3

Multiplica $- 6 (4 \cdot - 27)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.7.3.1

Multiplica $4$ por $- 27$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 \cdot - 108 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.7.3.2

Multiplica $- 6$ por $- 108$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.7.4

Suma $- 6$ y $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {(- 3)}^{4})$

Paso 4.2.1.7.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + 81)$

Paso 4.2.1.8

Suma $648$ y $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 \cdot 729$

Paso 4.2.1.9

Multiplica $- 36$ por $729$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 26244$

Paso 4.2.2

Resta $26244$ de $- 3402$ .

$f'' (- 6) = - 29646$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 29646$ .

$- 29646$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = 7 (- 2) {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2.1.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 14$ por $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (- 14 + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2.1.6

Suma $- 14$ y $6$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2.1.7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.7.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2.1.7.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2.1.7.3

Multiplica $- 2 (4 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.7.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 \cdot 4 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2.1.7.3.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Paso 5.2.1.7.4

Suma $- 2$ y $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1^{4})$

Paso 5.2.1.7.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1)$

Paso 5.2.1.8

Suma $- 8$ y $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 \cdot - 7$

Paso 5.2.1.9

Multiplica $- 8$ por $- 7$ .

$f'' (- 2) = - 14 + 56$

Paso 5.2.2

Suma $- 14$ y $56$ .

$f'' (- 2) = 42$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $42$ .

$42$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ porque $f'' (- 2)$ es positiva.

Convexo en $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f'' (- 1) = 7 (- 1) {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 7 {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2.1.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 2^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 16 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 7$ por $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (- 7 + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2.1.6

Suma $- 7$ y $6$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2.1.7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.7.1

Suma $- 1$ y $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 2^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2.1.7.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 8) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2.1.7.3

Multiplica $- 1 (4 \cdot 8)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.7.3.1

Multiplica $4$ por $8$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 \cdot 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2.1.7.3.2

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Paso 6.2.1.7.4

Suma $- 1$ y $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 2^{4})$

Paso 6.2.1.7.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 16)$

Paso 6.2.1.8

Suma $- 32$ y $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 \cdot - 16$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + 16$

Paso 6.2.2

Suma $- 112$ y $16$ .

$f'' (- 1) = - 96$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 96$ .

$- 96$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ porque $f'' (- 1)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 7 (0) {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2.1.2

Suma $0$ y $3$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 3^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 81 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $0$ por $81$ .

$f'' (0) = 0 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $7$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + (0 + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2.1.6

Suma $0$ y $6$ .

$f'' (0) = 0 + 6 ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2.1.7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.7.1

Suma $0$ y $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 3^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2.1.7.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 27) + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2.1.7.3

Multiplica $0 (4 \cdot 27)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.7.3.1

Multiplica $4$ por $27$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 \cdot 108 + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2.1.7.3.2

Multiplica $0$ por $108$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + {((0) + 3)}^{4})$

Paso 7.2.1.7.4

Suma $0$ y $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 3^{4})$

Paso 7.2.1.7.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 81)$

Paso 7.2.1.8

Suma $0$ y $81$ .

$f'' (0) = 0 + 6 \cdot 81$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $6$ por $81$ .

$f'' (0) = 0 + 486$

Paso 7.2.2

Suma $0$ y $486$ .

$f'' (0) = 486$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $486$ .

$486$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9