Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{8 x^{2} + 8}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{8 x^{2} + 8}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{8 x^{2} + 8}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe $\frac{1}{8 x^{2} + 8}$ como ${(8 x^{2} + 8)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} + 8)}^{- 1}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 8 x^{2} + 8$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 8]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 8]$

Paso 2.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x^{2} + 8$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 8]$

Paso 2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.1.1.3.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.1.1.3.4

Multiplica $2$ por $8$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (16 x + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.1.1.3.5

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (16 x + 0)$

Paso 2.1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.3.6.1

Suma $16 x$ y $0$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (16 x)$

Paso 2.1.1.3.6.2

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$- 16 {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} x$

Paso 2.1.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}} x$

Paso 2.1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Combina $- 16$ y $\frac{1}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}}$ .

$\frac{- 16}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}} x$

Paso 2.1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}} x$

Paso 2.1.1.4.2.3

Combina $x$ y $\frac{16}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 16}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Mueve $16$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{16 x}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.4.3.1

Factoriza $8$ de $8 x^{2} + 8$ .

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Paso 2.1.1.4.3.1.1

Factoriza $8$ de $8 x^{2}$ .

$- \frac{16 x}{{(8 (x^{2}) + 8)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3.1.2

Factoriza $8$ de $8$ .

$- \frac{16 x}{{(8 (x^{2}) + 8 (1))}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3.1.3

Factoriza $8$ de $8 (x^{2}) + 8 (1)$ .

$- \frac{16 x}{{(8 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3.2

Aplica la regla del producto a $8 (x^{2} + 1)$ .

$- \frac{16 x}{8^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{16 x}{64 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.4

Cancela el factor común de $16$ y $64$ .

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Paso 2.1.1.4.4.1

Factoriza $16$ de $16 x$ .

$- \frac{16 (x)}{64 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.4.4.2.1

Factoriza $16$ de $64 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{16 (x)}{16 (4 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Paso 2.1.1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{16 x}{16 (4 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Paso 2.1.1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = - \frac{x}{4 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{4 {(x^{2} + 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Paso 2.1.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.6.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.14

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.16

Multiplica $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3} \cdot 4}$

Paso 2.1.2.17

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$- \frac{- 3 x^{2} + 1}{4 \cdot {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.18

Simplifica.

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Paso 2.1.2.18.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{- (3 x^{2}) + 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.18.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- 1)}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.18.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (3 x^{2} - 1)}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.18.4

Reescribe $- (3 x^{2} - 1)$ como $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{- 1 (3 x^{2} - 1)}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.18.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.18.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.18.7

Multiplica $\frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{2} - 1 = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 1$

Paso 2.2.3.2

Divide cada término en $3 x^{2} = 1$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 2.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 2.2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Paso 2.2.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 2.2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.3.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.2.3.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.3.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2.3.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.3.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.3.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.3.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.2.3.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{8 x^{2} + 8}$ .

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{8 x^{2} + 8}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$8 x^{2} + 8 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x^{2} = - 8$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $8 x^{2} = - 8$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $8 x^{2} = - 8$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{- 8}{8}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{- 8}{8}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{8}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Divide $- 8$ por $8$ .

$x^{2} = - 1$

Paso 3.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 3.2.4

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 3.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 3.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 3.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 3.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = \frac{3 {(- 3)}^{2} - 1}{4 {({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 9 - 1}{4 {({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$f'' (- 3) = \frac{27 - 1}{4 {({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Resta $1$ de $27$ .

$f'' (- 3) = \frac{26}{4 {({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{26}{4 {(9 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $9$ y $1$ .

$f'' (- 3) = \frac{26}{4 \cdot 10^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{26}{4 \cdot 1000}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica $4$ por $1000$ .

$f'' (- 3) = \frac{26}{4000}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $26$ y $4000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $26$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 (13)}{4000}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4000$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2000}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2000}$

Paso 5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 3) = \frac{13}{2000}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{13}{2000}$ .

$\frac{13}{2000}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (- 3)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2} - 1}{4 {({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0 - 1}{4 {(0^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 - 1}{4 {(0^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Resta $1$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 1}{4 {(0^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 1}{4 {(0 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = \frac{- 1}{4 \cdot 1^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = \frac{- 1}{4 \cdot 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{- 1}{4}$

Paso 6.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = - \frac{1}{4}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = \frac{3 {(3)}^{2} - 1}{4 {({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1.1

Multiplica $3$ por $3^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (3) = \frac{3 \cdot 3^{2} - 1}{4 {(3^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (3) = \frac{3^{1 + 2} - 1}{4 {(3^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (3) = \frac{3^{3} - 1}{4 {(3^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3) = \frac{27 - 1}{4 {(3^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.3

Resta $1$ de $27$ .

$f'' (3) = \frac{26}{4 {(3^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = \frac{26}{4 {(9 + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $9$ y $1$ .

$f'' (3) = \frac{26}{4 \cdot 10^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3) = \frac{26}{4 \cdot 1000}$

Paso 7.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Multiplica $4$ por $1000$ .

$f'' (3) = \frac{26}{4000}$

Paso 7.2.3.2

Cancela el factor común de $26$ y $4000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $26$ .

$f'' (3) = \frac{2 (13)}{4000}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4000$ .

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2000}$

Paso 7.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2000}$

Paso 7.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (3) = \frac{13}{2000}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{13}{2000}$ .

$\frac{13}{2000}$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ porque $f'' (3)$ es positiva.

Convexo en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9