Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 6 + e^{x}$ .

$\frac{(6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [6 + e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [6 + e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.5

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.5.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.5.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.6

Simplifica.

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Paso 2.1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.6.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.6.2.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.6.2.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{6 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.6.2.2

Combina los términos opuestos en $6 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Paso 2.1.1.6.2.2.1

Resta $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{6 e^{x} + 0}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.1.6.2.2.2

Suma $6 e^{x}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{6 e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}]$

Paso 2.1.2.2

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{({(6 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(6 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 6 + e^{x}$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 + e^{x}$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 + e^{x}$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.6

Diferencia.

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Paso 2.1.2.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.9

Suma $x$ y $x$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.10

Factoriza $6 + e^{x}$ de ${(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})$ .

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Paso 2.1.2.10.1

Factoriza $6 + e^{x}$ de ${(6 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.2

Factoriza $6 + e^{x}$ de $- 2 e^{2 x} (6 + e^{x})$ .

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) + (6 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3

Factoriza $6 + e^{x}$ de $(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) + (6 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Paso 2.1.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.11.1

Factoriza $6 + e^{x}$ de ${(6 + e^{x})}^{4}$ .

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(6 + e^{x}) {(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.11.2

Cancela el factor común.

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(6 + e^{x}) {(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$6 \frac{(6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.12

Combina $6$ y $\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{6 ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13

Simplifica.

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Paso 2.1.2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (6 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (6 e^{x}) + 6 (e^{x} e^{x}) + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.13.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.13.3.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{36 e^{x} + 6 (e^{x} e^{x}) + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.3.1.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.13.3.1.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{x + x} + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.3.1.2.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{2 x} + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{2 x} - 12 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.3.2

Resta $12 e^{2 x}$ de $6 e^{2 x}$ .

$\frac{36 e^{x} - 6 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.13.4.1

Factoriza $6$ de $36 e^{x} - 6 e^{2 x}$ .

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Paso 2.1.2.13.4.1.1

Factoriza $6$ de $36 e^{x}$ .

$\frac{6 (6 e^{x}) - 6 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.4.1.2

Factoriza $6$ de $- 6 e^{2 x}$ .

$\frac{6 (6 e^{x}) + 6 (- e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.4.1.3

Factoriza $6$ de $6 (6 e^{x}) + 6 (- e^{2 x})$ .

$\frac{6 (6 e^{x} - e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.4.2

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{6 (6 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.4.3

Sea $u = e^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{x}$ .

$\frac{6 (6 u - u^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.4.4

Factoriza $u$ de $6 u - u^{2}$ .

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Paso 2.1.2.13.4.4.1

Factoriza $u$ de $6 u$ .

$\frac{6 (u \cdot 6 - u^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.4.4.2

Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$\frac{6 (u \cdot 6 + u (- u))}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.4.4.3

Factoriza $u$ de $u \cdot 6 + u (- u)$ .

$\frac{6 (u (6 - u))}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.2.13.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$6 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

Paso 2.2.3.2

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.2.3.2.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.2.3.2.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.2.3.2.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.2.3.3

Establece $6 - e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.3.1

Establece $6 - e^{x}$ igual a $0$ .

$6 - e^{x} = 0$

Paso 2.2.3.3.2

Resuelve $6 - e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.3.3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{x} = - 6$

Paso 2.2.3.3.2.2

Divide cada término en $- e^{x} = - 6$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.3.3.2.2.1

Divide cada término en $- e^{x} = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 2.2.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 2.2.3.3.2.2.2.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 2.2.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.3.2.2.3.1

Divide $- 6$ por $- 1$ .

$e^{x} = 6$

Paso 2.2.3.3.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

Paso 2.2.3.3.2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.3.2.4.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (6)$

Paso 2.2.3.3.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (6)$

Paso 2.2.3.3.2.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (6)$

Paso 2.2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ verdadera.

$x = \ln (6)$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ .

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$6 + e^{x} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{x} = - 6$

Paso 3.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 6)$

Paso 3.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 6)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.2.4

No hay soluciones para $e^{x} = - 6$

No hay solución

Paso 3.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \ln (6)) \cup (\ln (6), \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \ln (6))$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - e^{0})}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - 1 \cdot 1)}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - 1)}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Resta $1$ de $6$ .

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} \cdot 5}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $5$ por $6$ .

$f'' (0) = \frac{30 e^{0}}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Paso 5.2.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{{(6 + 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $6$ y $1$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{7^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{343}$

Paso 5.2.3

Multiplica $30$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{30}{343}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{30}{343}$ .

$\frac{30}{343}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \ln (6))$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, \ln (6))$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(\ln (6), \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = \frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$

Paso 6.2

La respuesta final es $\frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$ .

$\frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(\ln (6), \infty)$ porque $f'' (4)$ es negativa.

Cóncavo en $(\ln (6), \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, \ln (6))$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(\ln (6), \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8