Cálculo Ejemplos

$y = x \ln (x)$

Paso 1

Escribe $y = x \ln (x)$ como una función.

$f (x) = x \ln (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Paso 2.2.3

Suma $0$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 3.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión