Cálculo Ejemplos

$y = x + \cos (2 x)$

Paso 1

Escribe $y = x + \cos (2 x)$ como una función.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.1.2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 2.1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Paso 2.2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Paso 2.2.2.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Paso 2.2.3

Resta $4 \cos (2 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \cos (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x)$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 4 \cos (2 x) = 0$

Paso 3.2

Divide cada término en $- 4 \cos (2 x) = 0$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- 4 \cos (2 x) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $0$ por $- 4$ .

$\cos (2 x) = 0$

Paso 3.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (0)$

Paso 3.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.5.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.5.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 3.5.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 3.6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 3.7

Resuelve $x$

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Paso 3.7.1

Simplifica.

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Paso 3.7.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.7.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.7.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.7.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 3.7.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.7.2

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.7.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 3.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 3.7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 3.7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.7.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.7.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 3.8

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

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Paso 3.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.8.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 3.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 3.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 3.8.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.9

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ en $f (x) = x + \cos (2 x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Paso 4.1.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Paso 4.1.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 4.1.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{π}{4}$ en $f (x) = x + \cos (2 x)$ es $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π}{4})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.68539816$ en la expresión.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $- 4 \cos (1.37079632)$ .

$- 4 \cos (1.37079632)$

Paso 6.3

En $0.68539816$ , la segunda derivada es $- 0.79467732$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{π}{4})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{π}{4})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{4}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.88539816$ en la expresión.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $- 4 \cos (1.77079632)$ .

$- 4 \cos (1.77079632)$

Paso 7.3

En $0.88539816$ , la segunda derivada es $0.79467732$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{π}{4}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Paso 9