Cálculo Ejemplos

$y = x^{5} + x^{3} - 2$

Paso 1

Escribe $y = x^{5} + x^{3} - 2$ como una función.

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + x^{3} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + 0$

Paso 2.1.5

Suma $5 x^{4} + 3 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$20 x^{3} + 3 (2 x)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 6 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $20 x^{3} + 6 x$ .

$20 x^{3} + 6 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $20 x^{3} + 6 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$20 x^{3} + 6 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza $2 x$ de $20 x^{3} + 6 x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $2 x$ de $20 x^{3}$ .

$2 x (10 x^{2}) + 6 x = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $2 x$ de $6 x$ .

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (10 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$2 x (10 x^{2} + 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$10 x^{2} + 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $10 x^{2} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $10 x^{2} + 3$ igual a $0$ .

$10 x^{2} + 3 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $10 x^{2} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$10 x^{2} = - 3$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $10 x^{2} = - 3$ por $10$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $10 x^{2} = - 3$ por $10$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{10}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{3}{10}$

Paso 3.5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$ .

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Paso 3.5.2.4.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{10}}$

Paso 3.5.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{10}}$

Paso 3.5.2.4.3

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{10}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Paso 3.5.2.4.4

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Paso 3.5.2.4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.4.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Paso 3.5.2.4.5.2

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Paso 3.5.2.4.5.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Paso 3.5.2.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.2.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Paso 3.5.2.4.5.6

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 3.5.2.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.2.4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.2.4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.2.4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.2.4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Paso 3.5.2.4.5.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

Paso 3.5.2.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.4.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

Paso 3.5.2.4.6.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{10}$

Paso 3.5.2.4.7

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{30}}{10}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Paso 3.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Paso 3.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Paso 3.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (10 x^{2} + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{5} + {(0)}^{3} - 2$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 2$

Paso 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f (0) = - 2$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ es $(0, - 2)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, - 2)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} + 6 (- 0.1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 + 6 (- 0.1)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 + 6 (- 0.1)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

Paso 6.2.2

Resta $0.6$ de $- 0.02$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.62$ .

$- 0.62$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 0.62$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 6 (0.1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 6 (0.1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $20$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 6 (0.1)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $6$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

Paso 7.2.2

Suma $0.02$ y $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.62$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.62$ .

$0.62$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.62$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, - 2)$ .

$(0, - 2)$

Paso 9