Cálculo Ejemplos

$y = x^{5} \ln (x)$

Paso 1

Escribe $y = x^{5} \ln (x)$ como una función.

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.3.1

Combina $x^{5}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3.2

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3.2.2.5

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Paso 2.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4} \ln (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.2.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 2.2.2.5

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 2.2.2.6

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 2.2.2.6.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 2.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 2.2.2.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 2.2.2.6.2.3

Cancela el factor común.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 2.2.2.6.2.4

Reescribe la expresión.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 2.2.2.6.2.5

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Paso 2.2.3.2

Combina los términos.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

Paso 2.2.3.2.2

Suma $4 x^{3}$ y $5 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

Paso 2.2.3.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$

Paso 3.2

Resta $9 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$

Paso 3.3

Divide cada término en $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ por $20 x^{3}$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ por $20 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Paso 3.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Paso 3.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) = \frac{- 9}{20}$

Paso 3.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) = - \frac{9}{20}$

Paso 3.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{9}{20}}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (x) = - \frac{9}{20}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{9}{20}} = x$

Paso 3.6

Resuelve $x$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- \frac{9}{20}}$ .

$x = e^{- \frac{9}{20}}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ en $f (x) = x^{5} \ln (x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})}^{5} \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1^{5}}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Paso 4.1.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{9}{20}})}^{5}$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{20} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Paso 4.1.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.1.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 (4)} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Paso 4.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 \cdot 4} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Paso 4.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Paso 4.1.2.4

Mueve $e^{\frac{9}{20}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (e^{- \frac{9}{20}})$

Paso 4.1.2.5

Expande $\ln (e^{- \frac{9}{20}})$ ; para ello, mueve $- \frac{9}{20}$ fuera del logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot \ln (e))$

Paso 4.1.2.6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot 1)$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20})$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $\frac{1}{e^{\frac{9}{4}}}$ por $\frac{9}{20}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{e^{\frac{9}{4}} \cdot 20}$

Paso 4.1.2.9

Mueve $20$ a la izquierda de $e^{\frac{9}{4}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Paso 4.1.2.10

La respuesta final es $- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$ .

$- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ en $f (x) = x^{5} \ln (x)$ es $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.53762815$ en la expresión.

$f'' (0.53762815) = 9 {(0.53762815)}^{3} + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $0.53762815$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.53762815) = 9 \cdot 0.1553982 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $9$ por $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Paso 6.2.1.3

Eleva $0.53762815$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 \cdot (0.1553982 \ln (0.53762815))$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $20$ por $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 3.10796414 \ln (0.53762815)$

Paso 6.2.1.5

Simplifica $3.10796414 \ln (0.53762815)$ al mover $3.10796414$ dentro del algoritmo.

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln ({0.53762815}^{3.10796414})$

Paso 6.2.1.6

Eleva $0.53762815$ a la potencia de $3.10796414$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln (0.14532747)$

Paso 6.2.2

Suma $1.39858386$ y $\ln (0.14532747)$ .

$f'' (0.53762815) = - 0.53018177$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.53018177$ .

$- 0.53018177$

Paso 6.3

En $0.53762815$ , la segunda derivada es $- 0.53018177$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.73762815$ en la expresión.

$f'' (0.73762815) = 9 {(0.73762815)}^{3} + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.73762815$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.73762815) = 9 \cdot 0.40134 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $9$ por $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Paso 7.2.1.3

Eleva $0.73762815$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 \cdot (0.40134 \ln (0.73762815))$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $20$ por $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 8.02680006 \ln (0.73762815)$

Paso 7.2.1.5

Simplifica $8.02680006 \ln (0.73762815)$ al mover $8.02680006$ dentro del algoritmo.

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln ({0.73762815}^{8.02680006})$

Paso 7.2.1.6

Eleva $0.73762815$ a la potencia de $8.02680006$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln (0.08692764)$

Paso 7.2.2

Suma $3.61206002$ y $\ln (0.08692764)$ .

$f'' (0.73762815) = 1.16938082$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1.16938082$ .

$1.16938082$

Paso 7.3

En $0.73762815$ , la segunda derivada es $1.16938082$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Paso 9