Cálculo Ejemplos

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Paso 1

Escribe $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ como una función.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.1.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reordena los términos.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Paso 2.1.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.4.2.1

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Paso 2.1.4.2.2

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Paso 2.1.4.2.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Paso 3.2.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Paso 3.3

Factoriza $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (1) - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Paso 3.3.1.3

Factoriza $2$ de $- 2 \sin (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza.

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Paso 3.3.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.2.1.1

Reordena los términos.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Paso 3.3.2.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Paso 3.3.2.1.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Paso 3.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Paso 3.3.2.1.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Paso 3.3.2.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Paso 3.3.2.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Paso 3.3.2.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Paso 3.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 3.5

Establece $- 2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $- 2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 3.5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 3.5.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 3.5.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 3.5.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 3.5.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 3.5.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 3.5.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 3.5.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.6.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 3.5.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 3.5.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.5.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.6

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $\sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 3.6.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 3.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 3.6.2.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 3.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.6.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 3.6.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.6.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.6.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.6.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.6.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.6.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.6.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 3.6.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 3.6.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.6.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 3.6.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.6.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.6.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 3.6.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 3.6.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.6.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{π}{6}$ en $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Paso 4.1.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Paso 4.1.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Paso 4.1.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.1.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{4}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Paso 4.1.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4 - 3}{4}$

Paso 4.1.2.2.3

Resta $3$ de $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{π}{6}$ en $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ es $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π}{6})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.42359877$ en la expresión.

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (2 (0.42359877)) - 2 \sin (0.42359877)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$ .

$2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Paso 6.3

En $0.42359877$ , la segunda derivada es $0.50208433$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

Incremento en $(- \infty, \frac{π}{6})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{6}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.62359877$ en la expresión.

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (2 (0.62359877)) - 2 \sin (0.62359877)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$ .

$2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Paso 7.3

En $0.62359877$ , la segunda derivada es $- 0.53195951$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{π}{6}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Paso 9