Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Paso 1

Escribe $y = \sin (x) + \cos (x)$ como una función.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 2.2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x) - \cos (x)$ .

$- \sin (x) - \cos (x)$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Paso 3.2

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.3

Separa las fracciones.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.5

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.6.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 3.7

Separa las fracciones.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 3.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 3.9

Divide $0$ por $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Paso 3.10

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Paso 3.11

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- \tan (x) = 1$

Paso 3.12

Divide cada término en $- \tan (x) = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.12.1

Divide cada término en $- \tan (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 3.12.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.12.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 3.12.2.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Paso 3.12.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.12.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Paso 3.13

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 3.14

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.14.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 3.15

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 3.16

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.16.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 3.16.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 3.17

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 3.17.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 3.17.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 3.17.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 3.17.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.18

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 3.18.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 3.18.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 3.18.3

Combina fracciones.

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Paso 3.18.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 3.18.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 3.18.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.18.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 3.18.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 3.18.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 3.19

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{3 π}{4}$ en $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.1.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.1.2.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.1.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Paso 4.1.2.2.3

Divide $0$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{3 π}{4}$ en $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ es $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $\frac{3 π}{4}$ en $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.3.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.3.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.2.3

Divide $0$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{3 π}{4}$ en $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ es $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.25619449$ en la expresión.

$f'' (2.25619449) = - \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Paso 6.2

La respuesta final es $- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$ .

$- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Paso 6.3

En $2.25619449$ , la segunda derivada es $- 0.14118577$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.45619449$ en la expresión.

$f'' (2.45619449) = - \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Paso 7.2

La respuesta final es $- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$ .

$- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Paso 7.3

En $2.45619449$ , la segunda derivada es $0.14118577$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Paso 9