Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x^{2} + 1)$

Paso 1

Escribe $y = \ln (x^{2} + 1)$ como una función.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Paso 2.1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

Paso 2.1.2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

Paso 2.1.2.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 1} \cdot x$

Paso 2.1.2.4.3

Combina $\frac{2}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3

Diferencia.

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Paso 2.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $x^{2} + 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.8

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.9

Combina $2$ y $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.10

Simplifica.

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Paso 2.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.10.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} = - 2$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 2$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Paso 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 3.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ en $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Paso 4.1.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ es $(1, \ln (2))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, \ln (2))$

Paso 4.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

Paso 4.3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 1) = \ln (2)$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ es $(- 1, \ln (2))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, \ln (2))$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Suma $- 2.42$ y $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $1.21$ y $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $2.21$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Paso 6.2.3

Divide $- 0.42$ por $4.8841$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Paso 6.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $- 0.08599332$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Suma $0$ y $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

Paso 7.2.3

Divide $2$ por $1$ .

$f'' (0) = 2$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $2$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, 1)$ .

Incremento en $(- 1, 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Suma $- 2.42$ y $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $1.21$ y $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $2.21$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Paso 8.2.3

Divide $- 0.42$ por $4.8841$ .

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Paso 8.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $- 0.08599332$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(1, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

Paso 10