Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

Paso 1

Escribe $y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ como una función.

$f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} + 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$20 x^{3} + 3 (5 x^{4})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$20 x^{3} + 15 x^{4}$

Paso 2.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x^{4} + 20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $4$ por $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $60 x^{2}$ de $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $60 x^{2}$ de $60 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $60 x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $60 x^{2}$ de $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1)$ .

$60 x^{2} (x + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $60 x^{2} (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{5}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 5 \cdot 0 + 3 {(0)}^{5}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{5}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{5}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$f (- 1) = 5 + 3 {(- 1)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- 1) = 5 + 3 \cdot - 1$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 3$

Paso 4.3.2.2

Resta $3$ de $5$ .

$f (- 1) = 2$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ es $(- 1, 2)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, 2)$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 1, 2)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{3} + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot - 1.331 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $60$ por $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 \cdot 1.21$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $60$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 72.6$

Paso 6.2.2

Suma $- 79.86$ y $72.6$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 7.26$ .

$- 7.26$

Paso 6.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $- 7.26$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5.2

Factoriza $4$ de $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (15) (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5.3

Factoriza $4$ de $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5.4

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5.5

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{- 1}{2}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6

Combina $15$ y $\frac{- 1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 \cdot - 1}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.7

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.1.9.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Paso 7.2.1.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Paso 7.2.1.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Paso 7.2.1.11

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Paso 7.2.1.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{2^{2}})$

Paso 7.2.1.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{4})$

Paso 7.2.1.14

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.14.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 (15) (\frac{1}{4})$

Paso 7.2.1.14.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 \cdot (15 (\frac{1}{4}))$

Paso 7.2.1.14.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15$

Paso 7.2.2

Para escribir $15$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.2.3

Combina $15$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 15 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1

Multiplica $15$ por $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 30}{2}$

Paso 7.2.5.2

Suma $- 15$ y $30$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{15}{2}$ .

$\frac{15}{2}$

Paso 7.3

En $- \frac{1}{2}$ , la segunda derivada es $7.5$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, 0)$ .

Incremento en $(- 1, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $60$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 \cdot 0.01$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $60$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 0.6$

Paso 8.2.2

Suma $0.06$ y $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.66$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.66$ .

$0.66$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.66$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 1, 2)$ .

$(- 1, 2)$

Paso 10