Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Paso 1

Escribe $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ como una función.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Paso 2.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.5

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.5.1

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $1$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.5.2

Combina $\frac{4}{x}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.5.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.1.5.3.1

Factoriza $x$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.5.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.5.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.5.3.2.3

Cancela el factor común.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.5.3.2.4

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.5.3.2.5

Divide $4 x$ por $1$ .

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.6

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.7

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.7.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.7.2

Combina $\frac{4}{4}$ y $x$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.7.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.7.3.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.7.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Paso 2.1.11

Simplifica.

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Paso 2.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Paso 2.1.11.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Paso 2.1.11.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x \ln (\frac{x}{4})$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Paso 2.2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.4

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.7

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.8

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.9

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.10

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.11

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.12

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.2.12.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.12.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.13

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.14

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.14.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.14.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.2.15

Multiplica $\ln (\frac{x}{4})$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Paso 2.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.2.4.2.1

Multiplica $10$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Paso 2.2.4.2.2

Suma $10$ y $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

Paso 3.2

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

Paso 3.3

Divide cada término en $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ por $10$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ por $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $\ln (\frac{x}{4})$ por $1$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $- 15$ y $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $5$ de $- 15$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

Paso 3.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

Paso 3.6

Resuelve $x$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.6.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.6.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Paso 3.6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.2.1

Simplifica $4 e^{- \frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.3.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.6.3.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ en $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ en la expresión.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Paso 4.1.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Paso 4.1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Paso 4.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $5 \frac{16}{e^{3}}$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Combina $5$ y $\frac{16}{e^{3}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $5$ por $16$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Paso 4.1.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 4.1.2.6

Combinar.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Paso 4.1.2.7

Reduce la expresión $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Paso 4.1.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Paso 4.1.2.8

Mueve $e^{\frac{3}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Paso 4.1.2.9

Expande $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ ; para ello, mueve $- \frac{3}{2}$ fuera del logaritmo.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Paso 4.1.2.10

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Paso 4.1.2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Paso 4.1.2.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.12.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Paso 4.1.2.12.2

Factoriza $2$ de $80$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Paso 4.1.2.12.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Paso 4.1.2.12.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

Paso 4.1.2.13

Combina $\frac{40}{e^{3}}$ y $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

Paso 4.1.2.14

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.14.1

Multiplica $40$ por $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

Paso 4.1.2.14.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

Paso 4.1.2.15

La respuesta final es $- \frac{120}{e^{3}}$ .

$- \frac{120}{e^{3}}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ en $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ es $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.79252064$ en la expresión.

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Divide $0.79252064$ por $4$ .

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

Paso 6.2.1.2

Simplifica $10 \ln (0.19813016)$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

Paso 6.2.1.3

Eleva $0.19813016$ a la potencia de $10$ .

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $\ln (0.00000009) + 15$ .

$\ln (0.00000009) + 15$

Paso 6.3

En $0.79252064$ , la segunda derivada es $- 1.18831089$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.99252064$ en la expresión.

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Divide $0.99252064$ por $4$ .

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

Paso 7.2.1.2

Simplifica $10 \ln (0.24813016)$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

Paso 7.2.1.3

Eleva $0.24813016$ a la potencia de $10$ .

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $\ln (0.00000088) + 15$ .

$\ln (0.00000088) + 15$

Paso 7.3

En $0.99252064$ , la segunda derivada es $1.06198168$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ .

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Paso 9