Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{x + 1}$

Paso 1

Escribe $\frac{x}{x + 1}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6.4

Suma $0$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ como ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia.

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Paso 2.1.2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.1.2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 2.1.2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 2.1.2.3.4.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica.

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Paso 2.1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.2.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 2.2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x}{x + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 1 = 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 1}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 1}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1

Suma $- 4$ y $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{- 27}$

Paso 5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 4) = \frac{2}{27}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{2}{{((0) + 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1

Divide $2$ por $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 1, \infty)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8