Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{1 - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x}{1 - x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.2

Multiplica $1 - x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.7

Multiplica.

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Paso 2.1.1.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.7

Suma $- x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.8

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.2.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.2.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = - x^{2} + 1$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia.

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Paso 2.1.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.7.1

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.7.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + 4 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5

Simplifica.

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Paso 2.1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.5.3.1.1

Reescribe ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ como $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 ((- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.2

Expande $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.5.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.5.3.1.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.3.1.4

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.3.1.6

Multiplica $- x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.3.1.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.3.2

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{4} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{4} x - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.7.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.7.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.5.3.1.9.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.9.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.9.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.9.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.9.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{1 + 2} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.9.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.9.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.10

Expande $(4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3} + x) + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.2.3

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.2

Resta $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 0 + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.1.11.3

Suma $- 4 x^{5}$ y $0$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.2

Resta $4 x^{5}$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3.3

Suma $2 x$ y $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.5.4.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.4.1.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (- x^{4}) - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.1.3

Factoriza $2 x$ de $6 x$ .

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.1.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.5.4.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 2.1.2.5.4.4.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 u$ .

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 (u) + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.4.1.2

Reescribe $- 2$ como $1$ más $- 3$

$\frac{2 x (- u^{2} + (1 - 3) u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (- u^{2} + 1 u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.4.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$\frac{2 x (- u^{2} + u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.5.4.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 x ((- u^{2} + u) - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (u (- u + 1) + 3 (- u + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 1$ .

$\frac{2 x ((- u + 1) (u + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.7

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((1^{2} - x^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4.8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.5.5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.5.2

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.5.4

Aplica la regla del producto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.6

Cancela el factor común de $1 + x$ y ${(1 + x)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.6.1

Factoriza $1 + x$ de $2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.6.2.1

Factoriza $1 + x$ de ${(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}$ .

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

Paso 2.1.2.5.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

Paso 2.1.2.5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.7

Cancela el factor común de $1 - x$ y ${(1 - x)}^{4}$ .

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Paso 2.1.2.5.7.1

Factoriza $1 - x$ de $(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.7.2.1

Factoriza $1 - x$ de ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}$ .

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

Paso 2.1.2.5.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

Paso 2.1.2.5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x (x^{2} + 3) = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 2.2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.2.3.3

Establece $x^{2} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.3.1

Establece $x^{2} + 3$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 2.2.3.3.2

Resuelve $x^{2} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 3$

Paso 2.2.3.3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 2.2.3.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.2.3.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 2.2.3.3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 2.2.3.3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.2.3.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

Paso 2.2.3.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 2.2.3.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 2.2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x^{2} + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x}{1 - x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Paso 3.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 3.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 3.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 3.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 3.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 1}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 1}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 + 4)}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} \cdot 5^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 5^{3}}$

Paso 5.2.2.5

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 125}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 + 3)}{- 27 \cdot 125}$

Paso 5.2.3.2

Suma $16$ y $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 27 \cdot 125}$

Paso 5.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $- 27$ por $125$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 3375}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $- 8$ por $19$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 152}{- 3375}$

Paso 5.2.4.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f'' (- 4) = \frac{152}{3375}$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $\frac{152}{3375}$ .

$\frac{152}{3375}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.5$ en la expresión.

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Resta $0.5$ de $1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 + 0.5)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Suma $1$ y $0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} \cdot {1.5}^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot {1.5}^{3}}$

Paso 6.2.2.5

Eleva $1.5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

Paso 6.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.1

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 (0.25 + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

Paso 6.2.3.2

Suma $0.25$ y $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.125 \cdot 3.375}$

Paso 6.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

Multiplica $0.125$ por $3.375$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.421875}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $3.25$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 3.25}{0.421875}$

Paso 6.2.4.3

Divide $- 3.25$ por $0.421875$ .

$f'' (- 0.5) = - 7.\overline{703}$

Paso 6.2.5

La respuesta final es $- 7.\overline{703}$ .

$- 7.\overline{703}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 1, 0)$ porque $f'' (- 0.5)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 1, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.5$ en la expresión.

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Elimina los paréntesis.

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Multiplica $2$ por $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{1 ({0.5}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica ${0.5}^{2} + 3$ por $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Suma $1$ y $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - 0.5)}^{3}}$

Paso 7.2.3.3

Resta $0.5$ de $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} \cdot {0.5}^{3}}$

Paso 7.2.3.4

Eleva $1.5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot {0.5}^{3}}$

Paso 7.2.3.5

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

Paso 7.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.5) = \frac{0.25 + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

Paso 7.2.4.2

Suma $0.25$ y $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{3.375 \cdot 0.125}$

Paso 7.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1

Multiplica $3.375$ por $0.125$ .

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{0.421875}$

Paso 7.2.5.2

Divide $3.25$ por $0.421875$ .

$f'' (0.5) = 7.\overline{703}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $7.\overline{703}$ .

$7.\overline{703}$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, 1)$ porque $f'' (0.5)$ es positiva.

Convexo en $(0, 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - 4)}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(- 3)}^{3}}$

Paso 8.2.2.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 {(- 3)}^{3}}$

Paso 8.2.2.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 \cdot - 27}$

Paso 8.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (16 + 3)}{125 \cdot - 27}$

Paso 8.2.3.2

Suma $16$ y $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{125 \cdot - 27}$

Paso 8.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

Multiplica $125$ por $- 27$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{- 3375}$

Paso 8.2.4.2

Multiplica $8$ por $19$ .

$f'' (4) = \frac{152}{- 3375}$

Paso 8.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (4) = - \frac{152}{3375}$

Paso 8.2.5

La respuesta final es $- \frac{152}{3375}$ .

$- \frac{152}{3375}$

Paso 8.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ es negativa.

Cóncavo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 9

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 1, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(0, 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 10