Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{x^{2} + 27}$

Paso 1

Escribe $\frac{x}{x^{2} + 27}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 27}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 27$ .

$\frac{(x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.2

Multiplica $x^{2} + 27$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.5

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.8.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.8.2

Reescribe $27$ como $- 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.8.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.8.4

Reescribe $- (x^{2} - 27)$ como $- 1 (x^{2} - 27)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.1.8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}] + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{({(x^{2} + 27)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 27)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 27]) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.4

Como $- 27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 27)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (2 (x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x + \frac{d}{d x} [27]))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.5.4

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.5.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.5.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) (2 \cdot (x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.5.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.5.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.1.2.5.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.7.1

Multiplica $\frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + 0$

Paso 2.1.2.5.7.2

Suma $- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$ y $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.1

Reescribe ${(x^{2} + 27)}^{2}$ como $(x^{2} + 27) (x^{2} + 27)$ .

$- \frac{2 ((x^{2} + 27) (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.2

Expande $(x^{2} + 27) (x^{2} + 27)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x^{2} (x^{2} + 27) + 27 (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 27 + 27 (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{2 (x^{4} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.3.1.2

Mueve $27$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 27 \cdot x^{2} + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.3.1.3

Multiplica $27$ por $27$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 27 x^{2} + 27 x^{2} + 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.3.2

Suma $27 x^{2}$ y $27 x^{2}$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 54 x^{2} + 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(2 x^{4} + 2 (54 x^{2}) + 2 \cdot 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.5.1

Multiplica $54$ por $2$ .

$- \frac{(2 x^{4} + 108 x^{2} + 2 \cdot 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.5.2

Multiplica $2$ por $729$ .

$- \frac{(2 x^{4} + 108 x^{2} + 1458) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 x^{4} x + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.7.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{4}) + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{4}) + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 x^{1 + 4} + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.7.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 (x \cdot x^{2}) + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 (x^{1} x^{2}) + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{1 + 2} + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.8

Multiplica $- 4$ por $- 27$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.9

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.9.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.9.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2} x^{1} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.9.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2 + 1} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.9.2

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.10

Expande $(- 4 x^{2} + 108) (x^{3} + 27 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} (x^{3} + 27 x) + 108 (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (27 x) + 108 (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{2} x + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.3.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 (x \cdot x^{2}) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 (x^{1} x^{2}) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{1 + 2} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{3} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.4

Multiplica $- 4$ por $27$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 108 x^{3} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.1.5

Multiplica $27$ por $108$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 108 x^{3} + 108 x^{3} + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.2

Suma $- 108 x^{3}$ y $108 x^{3}$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} + 0 + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.1.11.3

Suma $- 4 x^{5}$ y $0$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.2

Resta $4 x^{5}$ de $2 x^{5}$ .

$- \frac{- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.3.3

Suma $1458 x$ y $2916 x$ .

$- \frac{- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.4.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 4374 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.4.1.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{5}$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 108 x^{3} + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.1.2

Factoriza $2 x$ de $108 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2}) + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.1.3

Factoriza $2 x$ de $4374 x$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2}) + 2 x (2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2})$ .

$- \frac{2 x (- x^{4} + 54 x^{2}) + 2 x (2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.1.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x^{4} + 54 x^{2}) + 2 x (2187)$ .

$- \frac{2 x (- x^{4} + 54 x^{2} + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} + 54 x^{2} + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- \frac{2 x (- u^{2} + 54 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.4

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.4.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 2187 = - 2187$ y cuya suma es $b = 54$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.4.4.1.1

Factoriza $54$ de $54 u$ .

$- \frac{2 x (- u^{2} + 54 (u) + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.4.1.2

Reescribe $54$ como $- 27$ más $81$

$- \frac{2 x (- u^{2} + (- 27 + 81) u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 x (- u^{2} - 27 u + 81 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.4.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \frac{2 x ((- u^{2} - 27 u) + 81 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- \frac{2 x (u (- u - 27) - 81 (- u - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 27$ .

$- \frac{2 x ((- u - 27) (u - 81))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- \frac{2 x ((- x^{2} - 27) (x^{2} - 81))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.6

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$- \frac{2 x ((- x^{2} - 27) (x^{2} - 9^{2}))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.4.7

Factoriza.

$- \frac{2 x (- x^{2} - 27) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.5

Cancela el factor común de $- x^{2} - 27$ y ${(x^{2} + 27)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.5.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- \frac{2 x (- (x^{2}) - 27) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.5.2

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$- \frac{2 x (- (x^{2}) - 1 (27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (27)$ .

$- \frac{2 x (- (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.5.4

Reescribe $- (x^{2} + 27)$ como $- 1 (x^{2} + 27)$ .

$- \frac{2 x (- 1 (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.5.5

Factoriza $x^{2} + 27$ de $2 x (- 1 (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)$ .

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.5.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.5.6.1

Factoriza $x^{2} + 27$ de ${(x^{2} + 27)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{(x^{2} + 27) {(x^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6.5.6.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{(x^{2} + 27) {(x^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6.5.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{(2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{- 2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{(2 x (x + 9)) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6.8

Multiplica $- - \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.6.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 2.1.2.6.8.2

Multiplica $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x (x + 9) (x - 9) = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

Paso 2.2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.2.3.3

Establece $x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.1

Establece $x + 9$ igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Paso 2.2.3.3.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 2.2.3.4

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.4.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 2.2.3.4.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 2.2.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x + 9) (x - 9) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 9, 9$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 27}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x}{x^{2} + 27}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 27 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Resta $27$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 27$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

Paso 3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 27}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

Paso 3.2.3.4

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.4.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

Paso 3.2.3.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Paso 3.2.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

Paso 3.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i \sqrt{3}$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i \sqrt{3}$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Paso 3.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 9)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 12$ en la expresión.

$f'' (- 12) = \frac{2 (- 12) ((- 12) + 9) ((- 12) - 9)}{{({(- 12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{{({(- 12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{{(144 + 27)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $144$ y $27$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{171^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $171$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{5000211}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Suma $- 12$ y $9$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 \cdot (- 3 (- 12 - 9))}{5000211}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $- 24$ por $- 3$ .

$f'' (- 12) = \frac{72 (- 12 - 9)}{5000211}$

Paso 5.2.3.3

Resta $9$ de $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{72 \cdot - 21}{5000211}$

Paso 5.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Multiplica $72$ por $- 21$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 1512}{5000211}$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común de $- 1512$ y $5000211$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1

Factoriza $27$ de $- 1512$ .

$f'' (- 12) = \frac{27 (- 56)}{5000211}$

Paso 5.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.2.1

Factoriza $27$ de $5000211$ .

$f'' (- 12) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 185193}$

Paso 5.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 12) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 185193}$

Paso 5.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 12) = \frac{- 56}{185193}$

Paso 5.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 12) = - \frac{56}{185193}$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $- \frac{56}{185193}$ .

$- \frac{56}{185193}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 9)$ porque $f'' (- 12)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 9)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 9, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ((- 4) + 9) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{{(16 + 27)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $16$ y $27$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{43^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $43$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{79507}$

Paso 6.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Suma $- 4$ y $9$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot (5 (- 4 - 9))}{79507}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 8$ por $5$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 40 (- 4 - 9)}{79507}$

Paso 6.2.3.3

Resta $9$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 40 \cdot - 13}{79507}$

Paso 6.2.4

Multiplica $- 40$ por $- 13$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{79507}$

Paso 6.2.5

La respuesta final es $\frac{520}{79507}$ .

$\frac{520}{79507}$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 9, 0)$ porque $f'' (- 4)$ es positiva.

Convexo en $(- 9, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, 9)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ((4) + 9) ((4) - 9)}{{({(4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{{(4^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{{(16 + 27)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $16$ y $27$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{43^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $43$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{79507}$

Paso 7.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Suma $4$ y $9$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot (13 (4 - 9))}{79507}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $8$ por $13$ .

$f'' (4) = \frac{104 (4 - 9)}{79507}$

Paso 7.2.3.3

Resta $9$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{104 \cdot - 5}{79507}$

Paso 7.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

Multiplica $104$ por $- 5$ .

$f'' (4) = \frac{- 520}{79507}$

Paso 7.2.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (4) = - \frac{520}{79507}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $- \frac{520}{79507}$ .

$- \frac{520}{79507}$

Paso 7.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(0, 9)$ porque $f'' (4)$ es negativa.

Cóncavo en $(0, 9)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8

Sustituye cualquier número del intervalo $(9, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $12$ en la expresión.

$f'' (12) = \frac{2 (12) ((12) + 9) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $12$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{{(12^{2} + 27)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{{(144 + 27)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $144$ y $27$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{171^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $171$ a la potencia de $3$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{5000211}$

Paso 8.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Suma $12$ y $9$ .

$f'' (12) = \frac{24 \cdot (21 (12 - 9))}{5000211}$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $24$ por $21$ .

$f'' (12) = \frac{504 (12 - 9)}{5000211}$

Paso 8.2.3.3

Resta $9$ de $12$ .

$f'' (12) = \frac{504 \cdot 3}{5000211}$

Paso 8.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

Multiplica $504$ por $3$ .

$f'' (12) = \frac{1512}{5000211}$

Paso 8.2.4.2

Cancela el factor común de $1512$ y $5000211$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.2.1

Factoriza $27$ de $1512$ .

$f'' (12) = \frac{27 (56)}{5000211}$

Paso 8.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.2.2.1

Factoriza $27$ de $5000211$ .

$f'' (12) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 185193}$

Paso 8.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (12) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 185193}$

Paso 8.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (12) = \frac{56}{185193}$

Paso 8.2.5

La respuesta final es $\frac{56}{185193}$ .

$\frac{56}{185193}$

Paso 8.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(9, \infty)$ porque $f'' (12)$ es positiva.

Convexo en $(9, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 9)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 9, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(0, 9)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(9, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 10