Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (x)$

Paso 1

Escribe $\sin^{2} (x)$ como una función.

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Paso 2.1.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.1.3.1

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.1.1.3.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Paso 2.1.1.3.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Paso 2.1.1.3.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 2.1.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Paso 2.1.2.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 \cos (2 x) = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2.2.1.2

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Paso 2.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (0)$

Paso 2.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Paso 2.2.5

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.2.5.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.2.5.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 2.2.6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.2.7

Resuelve $x$

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Paso 2.2.7.1

Simplifica.

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Paso 2.2.7.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.2.7.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.2.7.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.2.7.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.2.7.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.2.7.2

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.7.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.2.7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.7.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.2.7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.2.7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.7.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.2.7.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.2.7.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.2.8

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

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Paso 2.2.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.2.8.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 2.2.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.2.8.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.2.9

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.2.10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 2 \cos (2 (0))$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

Paso 5.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (0) = 2$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6