Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{4} - 256$ .

$\frac{(x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{(x^{4} - 256) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{4} - 256$ .

$\frac{4 \cdot (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 256$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256])}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 256])}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.5

Como $- 256$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 256$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.2.6.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{4} x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $x^{4}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.3.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 (x^{3} x^{4})}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{3 + 4}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3

Suma $3$ y $4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 x^{4} + 4 \cdot - 256) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.3.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.4.3.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{3 + 4} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3.1.1.3

Suma $3$ y $4$ .

$\frac{4 x^{7} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3.1.2

Multiplica $4$ por $- 256$ .

$\frac{4 x^{7} - 1024 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{7} - 1024 x^{3} - 4 x^{7}$ .

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Paso 2.1.1.4.3.2.1

Resta $4 x^{7}$ de $4 x^{7}$ .

$\frac{- 1024 x^{3} + 0}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.3.2.2

Suma $- 1024 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{- 1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.1.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $- 1024$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 1024 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}]$ .

$- 1024 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}]$

Paso 2.1.2.2

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{({(x^{4} - 256)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{4} - 256)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{4} - 256)}^{2}$ .

$- 1024 \frac{3 \cdot {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{4} - 256$ .

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Paso 2.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5

Diferencia.

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Paso 2.1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 256$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 256]))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.4

Como $- 256$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 256$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.5.5.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot (x^{4} - 256) x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.5.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 256) x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.7

Suma $3$ y $3$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.8

Combina $- 1024$ y $\frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$ .

$\frac{- 1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10

Simplifica.

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Paso 2.1.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.10.3.1.1

Reescribe ${(x^{4} - 256)}^{2}$ como $(x^{4} - 256) (x^{4} - 256)$ .

$- \frac{1024 (3 ((x^{4} - 256) (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.2

Expande $(x^{4} - 256) (x^{4} - 256)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.10.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} (x^{4} - 256) - 256 (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.10.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.10.3.1.3.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.10.3.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1024 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.3.1.1.2

Suma $4$ y $4$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.3.1.2

Mueve $- 256$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 256 \cdot x^{4} - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.3.1.3

Multiplica $- 256$ por $- 256$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 256 x^{4} - 256 x^{4} + 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.3.2

Resta $256 x^{4}$ de $- 256 x^{4}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 512 x^{4} + 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 ((3 x^{8} + 3 (- 512 x^{4}) + 3 \cdot 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.2.10.3.1.5.1

Multiplica $- 512$ por $3$ .

$- \frac{1024 ((3 x^{8} - 1536 x^{4} + 3 \cdot 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.5.2

Multiplica $3$ por $65536$ .

$- \frac{1024 ((3 x^{8} - 1536 x^{4} + 196608) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 (3 x^{8} x^{2} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.3.1.7.1

Multiplica $x^{8}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.3.1.7.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{2} x^{8}) - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1024 (3 x^{2 + 8} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.7.1.3

Suma $2$ y $8$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.7.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.10.3.1.7.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 (x^{2} x^{4}) + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{2 + 4} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.7.2.3

Suma $2$ y $4$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{6} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 (3 x^{10}) + 1024 (- 1536 x^{6}) + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.9

Simplifica.

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Paso 2.1.2.10.3.1.9.1

Multiplica $3$ por $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} + 1024 (- 1536 x^{6}) + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.9.2

Multiplica $- 1536$ por $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.9.3

Multiplica $196608$ por $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.10

Multiplica $x^{6}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.3.1.10.1

Mueve $x^{4}$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.10.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{4 + 6}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.10.3

Suma $4$ y $6$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{10}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.11

Multiplica $- 8$ por $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.12

Multiplica $- 256$ por $- 8$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 1024 (2048 x^{6})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.1.13

Multiplica $2048$ por $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 2097152 x^{6}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.2

Resta $8192 x^{10}$ de $3072 x^{10}$ .

$- \frac{- 5120 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 2097152 x^{6}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.3.3

Suma $- 1572864 x^{6}$ y $2097152 x^{6}$ .

$- \frac{- 5120 x^{10} + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.4.1

Factoriza $1024 x^{2}$ de $- 5120 x^{10} + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.4.1.1

Factoriza $1024 x^{2}$ de $- 5120 x^{10}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.1.2

Factoriza $1024 x^{2}$ de $524288 x^{6}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4}) + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.1.3

Factoriza $1024 x^{2}$ de $201326592 x^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.1.4

Factoriza $1024 x^{2}$ de $1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4})$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.1.5

Factoriza $1024 x^{2}$ de $1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4} + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.2

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 512 x^{4} + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.3

Sea $u = x^{4}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{4}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + 512 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.10.4.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 5 \cdot 196608 = - 983040$ y cuya suma es $b = 512$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.4.4.1.1

Factoriza $512$ de $512 u$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + 512 (u) + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.4.1.2

Reescribe $512$ como $- 768$ más $1280$

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 768 + 1280) u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} - 768 u + 1280 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.10.4.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 u^{2} - 768 u) + 1280 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- \frac{1024 x^{2} (u (- 5 u - 768) - 256 (- 5 u - 768))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 5 u - 768$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 u - 768) (u - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ({(x^{2})}^{2} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.7

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ({(x^{2})}^{2} - 16^{2}))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 16$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ((x^{2} + 16) (x^{2} - 16)))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.4.9

Factoriza.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.10.5.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{({(x^{2})}^{2} - 256)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.2

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{({(x^{2})}^{2} - 16^{2})}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 16$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x^{2} - 16))}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.5.4.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x^{2} - 4^{2}))}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4))}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.5

Aplica la regla del producto a $(x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.6

Expande $(x^{2} + 16) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} (x + 4) + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.10.5.7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.5.7.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.1.2.10.5.7.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.7.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.7.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.7.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.7.3

Multiplica $16$ por $4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 64)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.8

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.5.8.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{3} + 4 x^{2}) + 16 x + 64)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.8.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} (x + 4) + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.9

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x + 4) (x^{2} + 16))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.5.10

Aplica la regla del producto a $(x + 4) (x^{2} + 16)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.6

Cancela el factor común de $x^{2} + 16$ y ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.6.1

Factoriza $x^{2} + 16$ de $1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.6.2.1

Factoriza $x^{2} + 16$ de ${(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{(x^{2} + 16) ({(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Paso 2.1.2.10.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{(x^{2} + 16) ({(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Paso 2.1.2.10.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4)}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.7

Cancela el factor común de $x + 4$ y ${(x + 4)}^{4}$ .

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Paso 2.1.2.10.7.1

Factoriza $x + 4$ de $(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4)$ .

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.7.2.1

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Paso 2.1.2.10.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Paso 2.1.2.10.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.8

Cancela el factor común de $x - 4$ y ${(x - 4)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.8.1

Factoriza $x - 4$ de $(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4)$ .

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Paso 2.1.2.10.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.10.8.2.1

Factoriza $x - 4$ de ${(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Paso 2.1.2.10.8.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Paso 2.1.2.10.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10.9

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{4}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4}) - 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10.10

Reescribe $- 768$ como $- 1 (768)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 (768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10.11

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{4}) - 1 (768)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4} + 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10.12

Reescribe $- (5 x^{4} + 768)$ como $- 1 (5 x^{4} + 768)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10.15

Multiplica $\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ por $1$ .

$\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10.16

Reordena los factores en $\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1024 x^{2} (5 x^{4} + 768) = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{4} + 768 = 0$

Paso 2.2.3.2

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.2.3.2.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.2.3.2.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.3.2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.2.3.2.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.2.3.3

Establece $5 x^{4} + 768$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.1

Establece $5 x^{4} + 768$ igual a $0$ .

$5 x^{4} + 768 = 0$

Paso 2.2.3.3.2

Resuelve $5 x^{4} + 768 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.2.1

Resta $768$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{4} = - 768$

Paso 2.2.3.3.2.2

Divide cada término en $5 x^{4} = - 768$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.2.3.3.2.2.1

Divide cada término en $5 x^{4} = - 768$ por $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{- 768}{5}$

Paso 2.2.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{- 768}{5}$

Paso 2.2.3.3.2.2.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 768}{5}$

Paso 2.2.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{4} = - \frac{768}{5}$

Paso 2.2.3.3.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Paso 2.2.3.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Paso 2.2.3.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Paso 2.2.3.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}, - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Paso 2.2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $1024 x^{2} (5 x^{4} + 768) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}, - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Paso 2.2.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ .

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{4} - 256 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Suma $256$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = 256$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

Paso 3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt[4]{256}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Reescribe $256$ como $4^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{4^{4}}$

Paso 3.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 4$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 4$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 4, - 4}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 4, - 4}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (5 {(- 6)}^{4} + 768)}{{((- 6) + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {((- 6) - 4)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (5 \cdot 1296 + 768)}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $5$ por $1296$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (6480 + 768)}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $6480$ y $768$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} \cdot 7248}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $7248$ por $1024$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 {(- 6)}^{2}}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Paso 5.2.1.5

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Suma $- 6$ y $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} {(36 + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Suma $36$ y $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} \cdot (52^{3} {(- 6 - 4)}^{3})}$

Paso 5.2.2.4

Resta $4$ de $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} \cdot (52^{3} {(- 10)}^{3})}$

Paso 5.2.2.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot (52^{3} {(- 10)}^{3})}$

Paso 5.2.2.6

Eleva $52$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot (140608 {(- 10)}^{3})}$

Paso 5.2.2.7

Eleva $- 10$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot 140608 \cdot - 1000}$

Paso 5.2.2.8

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.8.1

Multiplica $- 8$ por $140608$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 1124864 \cdot - 1000}$

Paso 5.2.2.8.2

Multiplica $- 1124864$ por $- 1000$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1124864000}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica $7421952$ por $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{267190272}{1124864000}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $267190272$ y $1124864000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $4096$ de $267190272$ .

$f'' (- 6) = \frac{4096 (65232)}{1124864000}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.2.1

Factoriza $4096$ de $1124864000$ .

$f'' (- 6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Paso 5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{65232}{274625}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{65232}{274625}$ .

$\frac{65232}{274625}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 4)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 4, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (5 {(- 2)}^{4} + 768)}{{((- 2) + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {((- 2) - 4)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (5 \cdot 16 + 768)}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $5$ por $16$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (80 + 768)}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Suma $80$ y $768$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} \cdot 848}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $848$ por $1024$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 {(- 2)}^{2}}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $- 2$ y $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} {(4 + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Suma $4$ y $16$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} \cdot (20^{3} {(- 2 - 4)}^{3})}$

Paso 6.2.2.4

Resta $4$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} \cdot (20^{3} {(- 6)}^{3})}$

Paso 6.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot (20^{3} {(- 6)}^{3})}$

Paso 6.2.2.6

Eleva $20$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot (8000 {(- 6)}^{3})}$

Paso 6.2.2.7

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot 8000 \cdot - 216}$

Paso 6.2.2.8

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.8.1

Multiplica $8$ por $8000$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{64000 \cdot - 216}$

Paso 6.2.2.8.2

Multiplica $64000$ por $- 216$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{- 13824000}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Multiplica $868352$ por $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{3473408}{- 13824000}$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $3473408$ y $- 13824000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $4096$ de $3473408$ .

$f'' (- 2) = \frac{4096 (848)}{- 13824000}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.2.1

Factoriza $4096$ de $- 13824000$ .

$f'' (- 2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{848}{- 3375}$

Paso 6.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 2) = - \frac{848}{3375}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{848}{3375}$ .

$- \frac{848}{3375}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 4, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 4, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, 4)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{1024 {(2)}^{2} (5 {(2)}^{4} + 768)}{{((2) + 4)}^{3} {({(2)}^{2} + 16)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Reescribe $1024$ como $2^{10}$ .

$f'' (2) = \frac{2^{10} \cdot (2^{2} (5 \cdot 2^{4} + 768))}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (2) = \frac{2^{10 + 2} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Paso 7.2.1.3

Suma $10$ y $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Suma $2$ y $4$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} {(4 + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Suma $4$ y $16$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} \cdot (20^{3} {(2 - 4)}^{3})}$

Paso 7.2.2.4

Resta $4$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} \cdot (20^{3} {(- 2)}^{3})}$

Paso 7.2.2.5

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot (20^{3} {(- 2)}^{3})}$

Paso 7.2.2.6

Eleva $20$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot (8000 {(- 2)}^{3})}$

Paso 7.2.2.7

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot 8000 \cdot - 8}$

Paso 7.2.2.8

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.8.1

Multiplica $216$ por $8000$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{1728000 \cdot - 8}$

Paso 7.2.2.8.2

Multiplica $1728000$ por $- 8$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{- 13824000}$

Paso 7.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 16 + 768)}{- 13824000}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $5$ por $16$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (80 + 768)}{- 13824000}$

Paso 7.2.3.3

Suma $80$ y $768$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} \cdot 848}{- 13824000}$

Paso 7.2.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $12$ .

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{- 13824000}$

Paso 7.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

Multiplica $4096$ por $848$ .

$f'' (2) = \frac{3473408}{- 13824000}$

Paso 7.2.4.2

Cancela el factor común de $3473408$ y $- 13824000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.2.1

Factoriza $4096$ de $3473408$ .

$f'' (2) = \frac{4096 (848)}{- 13824000}$

Paso 7.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.2.2.1

Factoriza $4096$ de $- 13824000$ .

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Paso 7.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Paso 7.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (2) = \frac{848}{- 3375}$

Paso 7.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (2) = - \frac{848}{3375}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $- \frac{848}{3375}$ .

$- \frac{848}{3375}$

Paso 7.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(0, 4)$ porque $f'' (2)$ es negativa.

Cóncavo en $(0, 4)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8

Sustituye cualquier número del intervalo $(4, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f'' (6) = \frac{1024 {(6)}^{2} (5 {(6)}^{4} + 768)}{{((6) + 4)}^{3} {({(6)}^{2} + 16)}^{3} {((6) - 4)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot (6^{2} (5 \cdot 1296 + 768))}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $5$ por $1296$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot (6^{2} (6480 + 768))}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Paso 8.2.1.3

Suma $6480$ y $768$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot 6^{2} \cdot 7248}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $7248$ por $1024$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 6^{2}}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Paso 8.2.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Suma $6$ y $4$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} {(36 + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Suma $36$ y $16$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} \cdot (52^{3} {(6 - 4)}^{3})}$

Paso 8.2.2.4

Resta $4$ de $6$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} \cdot 52^{3} \cdot 2^{3}}$

Paso 8.2.2.5

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 52^{3} \cdot 2^{3}}$

Paso 8.2.2.6

Eleva $52$ a la potencia de $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 140608 \cdot 2^{3}}$

Paso 8.2.2.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 140608 \cdot 8}$

Paso 8.2.2.8

Combina exponentes.

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Paso 8.2.2.8.1

Multiplica $1000$ por $140608$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{140608000 \cdot 8}$

Paso 8.2.2.8.2

Multiplica $140608000$ por $8$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1124864000}$

Paso 8.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $7421952$ por $36$ .

$f'' (6) = \frac{267190272}{1124864000}$

Paso 8.2.3.2

Cancela el factor común de $267190272$ y $1124864000$ .

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Paso 8.2.3.2.1

Factoriza $4096$ de $267190272$ .

$f'' (6) = \frac{4096 (65232)}{1124864000}$

Paso 8.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.2.2.1

Factoriza $4096$ de $1124864000$ .

$f'' (6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Paso 8.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Paso 8.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (6) = \frac{65232}{274625}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $\frac{65232}{274625}$ .

$\frac{65232}{274625}$

Paso 8.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ es positiva.

Convexo en $(4, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 4)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 4, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Cóncavo en $(0, 4)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(4, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 10