Cálculo Ejemplos

$x e^{- 3 x}$

Paso 1

Escribe $x e^{- 3 x}$ como una función.

$f (x) = x e^{- 3 x}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 3 x$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 x$ .

$x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.3.3.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.3.3.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $e^{- 3 x}$ .

$x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Paso 2.1.1.3.5

Multiplica $e^{- 3 x}$ por $1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

Paso 2.1.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.1.4.1

Reordena los términos.

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Paso 2.1.1.4.2

Reordena los factores en $- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}]$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x e^{- 3 x}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 3 x$ .

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Paso 2.1.2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- 3 x$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 3 x$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2.8

Mueve $- 3$ a la izquierda de $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.2.9

Multiplica $e^{- 3 x}$ por $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 2.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 3 x$ .

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Paso 2.1.2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 2.1.2.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 2.1.2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 2.1.2.3.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

Paso 2.1.2.3.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot - 3$

Paso 2.1.2.3.5

Mueve $- 3$ a la izquierda de $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) - 3 e^{- 3 x}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica.

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Paso 2.1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Paso 2.1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.2.4.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$9 (x (e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Paso 2.1.2.4.2.2

Resta $3 e^{- 3 x}$ de $- 3 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Paso 2.1.2.4.3

Reordena los términos.

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$

Paso 2.1.2.4.4

Reordena los factores en $9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $3 e^{- 3 x}$ de $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $3 e^{- 3 x}$ de $9 x e^{- 3 x}$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x) - 6 e^{- 3 x} = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza $3 e^{- 3 x}$ de $- 6 e^{- 3 x}$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2) = 0$

Paso 2.2.2.3

Factoriza $3 e^{- 3 x}$ de $3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2)$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$3 x - 2 = 0$

Paso 2.2.4

Establece $e^{- 3 x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.4.1

Establece $e^{- 3 x}$ igual a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Paso 2.2.4.2

Resuelve $e^{- 3 x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Paso 2.2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- 3 x} = 0$

No hay solución

Paso 2.2.5

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.5.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 2.2.5.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 2.2.5.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2}{3}$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \frac{2}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 9 (0) \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Paso 5.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{0}$

Paso 5.2.1.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

Paso 5.2.1.7

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Paso 5.2.2

Resta $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, \frac{2}{3})$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, \frac{2}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{2}{3}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = 9 (3) \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 9} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Paso 6.2.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = 27 \cdot \frac{1}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Paso 6.2.1.4

Combina $27$ y $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 9}$

Paso 6.2.1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 \frac{1}{e^{9}}$

Paso 6.2.1.7

Combina $- 6$ y $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} + \frac{- 6}{e^{9}}$

Paso 6.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - \frac{6}{e^{9}}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (3) = \frac{27 - 6}{e^{9}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $6$ de $27$ .

$f'' (3) = \frac{21}{e^{9}}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{21}{e^{9}}$ .

$\frac{21}{e^{9}}$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(\frac{2}{3}, \infty)$ porque $f'' (3)$ es positiva.

Convexo en $(\frac{2}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, \frac{2}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(\frac{2}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8