Cálculo Ejemplos

$\arctan (x)$

Paso 1

Escribe $\arctan (x)$ como una función.

$f (x) = \arctan (x)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia.

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Paso 2.1.2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.1.2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 2.1.2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.3.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Paso 2.1.2.3.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Paso 2.1.2.4

Simplifica.

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Paso 2.1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 2.1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.2.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 2.1.2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Paso 2.1.2.4.2.3

Combina $x$ y $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 2.2.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

Paso 5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{4}{25}$ .

$- \frac{4}{25}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es negativa.

Cóncavo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8