Cálculo Ejemplos

$3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

Paso 1

Escribe $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ como una función.

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.4.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.5.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.1.6

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.6.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Paso 2.1.1.6.2

Suma $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ y $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 2.1.2.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 2.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$36 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 2.1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$36 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 2.1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.4.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 2.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 2.1.2.4.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 2.1.2.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 + 0$

Paso 2.1.2.5.2

Suma $36 x^{2} - 24 x - 12$ y $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x - 12$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $36 x^{2} - 24 x - 12$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $36 x^{2} - 24 x - 12 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Factoriza $12$ de $36 x^{2} - 24 x - 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Factoriza $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 24 x - 12 = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza $12$ de $- 24 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) - 12 = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza $12$ de $- 12$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) + 12 (- 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.4

Factoriza $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.5

Factoriza $12$ de $12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 1)$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ y cuya suma es $b = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.2.1.1.2

Reescribe $- 2$ como $1$ más $- 3$

$12 (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$12 (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.2.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$12 (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$12 ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$12 (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Paso 2.2.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 1$ .

$12 ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 2.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.2.4

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 2.2.4.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 2.2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 2.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 (3 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - \frac{1}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = 36 {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 - 12$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3) = 36 \cdot 9 - 24 \cdot - 3 - 12$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $36$ por $9$ .

$f'' (- 3) = 324 - 24 \cdot - 3 - 12$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = 324 + 72 - 12$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Suma $324$ y $72$ .

$f'' (- 3) = 396 - 12$

Paso 5.2.2.2

Resta $12$ de $396$ .

$f'' (- 3) = 384$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $384$ .

$384$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - \frac{1}{3})$ porque $f'' (- 3)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - \frac{1}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{1}{3}, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 - 12$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 12$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 12$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 12$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 - 12$

Paso 6.2.2.2

Resta $12$ de $0$ .

$f'' (0) = - 12$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \frac{1}{3}, 1)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \frac{1}{3}, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 - 12$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 24 \cdot 4 - 12$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $36$ por $16$ .

$f'' (4) = 576 - 24 \cdot 4 - 12$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $4$ .

$f'' (4) = 576 - 96 - 12$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Resta $96$ de $576$ .

$f'' (4) = 480 - 12$

Paso 7.2.2.2

Resta $12$ de $480$ .

$f'' (4) = 468$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $468$ .

$468$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ es positiva.

Convexo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - \frac{1}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- \frac{1}{3}, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9