Cálculo Ejemplos

$A (x) = x \sqrt{x + 5}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 5$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 5$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.8.3

Mueve ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.12.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.12.2

Multiplica $\frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.1.1.14

Multiplica ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.1.15

Para escribir ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.16

Combina ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.18

Multiplica ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.18.1

Mueve ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.18.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.18.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.18.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.18.5

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 5) \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.19

Simplifica ${(x + 5)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 5) \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.20

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 5$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 5)}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.21

Simplifica.

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Paso 1.1.1.21.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 5}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.21.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.21.2.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.21.2.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 10}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x + 10}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x + 10$ y $g (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Paso 1.1.2.5

Diferencia.

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Paso 1.1.2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Paso 1.1.2.5.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Paso 1.1.2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Paso 1.1.2.5.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Paso 1.1.2.5.5

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Paso 1.1.2.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.5.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Paso 1.1.2.5.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.11

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.11.3

Mueve ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5)))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.14

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 5}$

Paso 1.1.2.15

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.15.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 5}$

Paso 1.1.2.15.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 5}$

Paso 1.1.2.15.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 5}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 (x + 5)}$

Paso 1.1.2.16

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 5)}$

Paso 1.1.2.16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.16.3.1

Agrega paréntesis.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.2

Sea $u_{2} = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.16.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.16.3.2.2.1

Mueve $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.2.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.4

Simplifica.

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Paso 1.1.2.16.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.16.3.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.16.3.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.16.3.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x + 5) - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.4.1.2

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x + 5) - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 6 \cdot 5 - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.4.1.4

Multiplica $6$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 30 - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.4.2

Resta $3 x$ de $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 30 - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.3.4.3

Resta $10$ de $30$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Paso 1.1.2.16.4

Combina los términos.

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Paso 1.1.2.16.4.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 10}$

Paso 1.1.2.16.4.2

Reescribe $\frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 10}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 10}$

Paso 1.1.2.16.4.3

Multiplica $\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x + 10}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 10)}$

Paso 1.1.2.16.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.2.16.5.1

Factoriza $2$ de $2 x + 10$ .

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Paso 1.1.2.16.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 10)}$

Paso 1.1.2.16.5.1.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 5)}$

Paso 1.1.2.16.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 5$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 5))}$

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 5))}$

Paso 1.1.2.16.5.2

Combina exponentes.

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Paso 1.1.2.16.5.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (x + 5)}$

Paso 1.1.2.16.5.2.2

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 ((x + 5) {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.1.2.16.5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.16.5.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.16.5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 1.1.2.16.5.2.6

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $A (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x + 20 = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 20$

Paso 1.2.3.2

Divide cada término en $3 x = - 20$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Divide cada término en $3 x = - 20$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Paso 1.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Paso 1.2.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 20}{3}$

Paso 1.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{20}{3}$

Paso 1.2.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 2

Obtén el dominio de $A (x) = x \sqrt{x + 5}$ .

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Paso 2.1

Establece el radicando en $\sqrt{x + 5}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 5 \geq 0$

Paso 2.2

Resta $5$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 5$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq - 5}$

Notación de intervalo:

$[- 5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq - 5}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$[- 5, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $[- 5, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$A'' (0) = \frac{3 (0) + 20}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Factoriza $4$ de $3 (0)$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 20}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 4 \cdot 5}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.3

Factoriza $4$ de $4 (3 \cdot (0)) + 4 (5)$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $4$ de $4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 ({((0) + 5)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 4.2.4.2

Cancela el factor común.

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.4.3

Reescribe la expresión.

$A'' (0) = \frac{3 \cdot (0) + 5}{{((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$A'' (0) = \frac{0 + 5}{{(0 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.5.2

Suma $0$ y $5$ .

$A'' (0) = \frac{5}{{(0 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.6.1

Suma $0$ y $5$ .

$A'' (0) = \frac{5}{5^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2.6.2

Mueve $5^{1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Paso 4.2.7

Multiplica $5^{\frac{3}{2}}$ por $5^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.7.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} - 1}}$

Paso 4.2.7.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.7.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Paso 4.2.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Paso 4.2.7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.7.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Paso 4.2.7.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2.8

La respuesta final es $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $[- 5, \infty)$ porque $A'' (0)$ es positiva.

Convexo en $[- 5, \infty)$ dado que $A'' (x)$ es positivo

Paso 5