Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - x$ y $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - x] - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1 \cdot 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.11

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.12

Suma $2 x + 3$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Expande $(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.9

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.10

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.3

Suma $- x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.4

Resta $8 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.5

Multiplica $- - x$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + 1 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.6

Expande $(- x^{2} + x) (2 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.3.2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x + 3) + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.3.2.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.1.7

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.7.2

Suma $- 3 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$ .

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 + 0 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Suma $5 x^{2} - 11 x + 4$ y $0$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.3

Resta $x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 11 x + 4 + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.4

Suma $- 11 x$ y $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.3.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 8 x + 4$ .

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Paso 1.1.1.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2

Factoriza $4$ de $- 8 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.3

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.4

Factoriza $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1.3.3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.3.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1.3.4.1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 1.1.1.3.4.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 1) (x + 4))}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.2

Aplica la regla del producto a $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.2.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

Paso 1.1.2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ como ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 1.1.2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Paso 1.1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 1.1.2.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 1.1.2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.2.4.2.1

Combina $- 8$ y $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 = 0$

Paso 1.2.3

Como $8 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) (x + 4) = 0$

Paso 2.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.2.4

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.4.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.2.4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 4$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 4}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 4}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{((- 6) + 4)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.1

Suma $- 6$ y $4$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{- 8}$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Divide $8$ por $- 8$ .

$f'' (- 6) = 1$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (- 6) = 1$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 4)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 4, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{8}{{((0) + 4)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1

Suma $0$ y $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{4^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{64}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $64$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (1)}{64}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $8$ de $64$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 4, 1)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 4, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = - \frac{8}{{((4) + 4)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $4$ y $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{8^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{512}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $512$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$f'' (4) = - \frac{8 (1)}{512}$

Paso 6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.2.1

Factoriza $8$ de $512$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Paso 6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Paso 6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (4) = - \frac{1}{64}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{64}$ .

$- \frac{1}{64}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ es negativa.

Cóncavo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 4)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 4, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Cóncavo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8