Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x^{2} + 12) (4 - x^{2})$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} + 12$ y $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Paso 1.1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Paso 1.1.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Paso 1.1.1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Paso 1.1.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- (2 x)) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Paso 1.1.1.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Paso 1.1.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

Paso 1.1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

Paso 1.1.1.2.9

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x + 0)$

Paso 1.1.1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x)$

Paso 1.1.1.2.10.2

Mueve $2$ a la izquierda de $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + 2 \cdot ((4 - x^{2}) x)$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 (4 - x^{2}) x$

Paso 1.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + (2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x$

Paso 1.1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Paso 1.1.1.3.4

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.3.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.4.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Paso 1.1.1.3.4.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Paso 1.1.1.3.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Paso 1.1.1.3.4.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = x^{3} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Paso 1.1.1.3.4.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f' (x) = - 2 \cdot x^{3} + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Paso 1.1.1.3.4.3

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Paso 1.1.1.3.4.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x + 2 (- x^{2}) x$

Paso 1.1.1.3.4.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{2} x$

Paso 1.1.1.3.4.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 (x \cdot x^{2})$

Paso 1.1.1.3.4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{1 + 2}$

Paso 1.1.1.3.4.8

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{3}$

Paso 1.1.1.3.4.9

Suma $- 24 x$ y $8 x$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 16 x - 2 x^{3}$

Paso 1.1.1.3.4.10

Resta $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 16 x$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{3} - 16 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 x$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16 \cdot 1$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 12 x^{2} - 16$ .

$- 12 x^{2} - 16$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 12 x^{2} - 16 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 12 x^{2} - 16 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$- 12 x^{2} = 16$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $- 12 x^{2} = 16$ por $- 12$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $- 12 x^{2} = 16$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{16}{- 12}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{16}{- 12}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{- 12}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Cancela el factor común de $16$ y $- 12$ .

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Paso 1.2.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$x^{2} = \frac{4 (4)}{- 12}$

Paso 1.2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{4}{- 3}$

Paso 1.2.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Paso 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Paso 1.2.5

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

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Paso 1.2.5.1

Reescribe $- \frac{4}{3}$ como $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

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Paso 1.2.5.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Paso 1.2.5.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Paso 1.2.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Paso 1.2.5.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 1.2.5.4

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.6

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 1.2.5.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.5.7.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 1.2.5.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.5.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 1.2.5.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.2.5.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.5.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.5.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 1.2.5.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.5.8

Combina $i$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Paso 1.2.5.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} - 16$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 - 16$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 16$

Paso 4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$f'' (0) = - 16$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 16$ .

$- 16$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

La gráfica es cóncava.

Paso 5