Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 24 x^{3} + 30 x^{2}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 24 x^{3} + 30 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Paso 1.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30 x^{2}$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + 30 (2 x)$

Paso 1.1.1.4.3

Multiplica $2$ por $30$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + 60 x$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 72 x^{2} + 60 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 72$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (60 x)$

Paso 1.1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + 60 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + 60 \cdot 1$

Paso 1.1.2.4.3

Multiplica $60$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + 60$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $36 x^{2} - 144 x + 60$ .

$36 x^{2} - 144 x + 60$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $36 x^{2} - 144 x + 60 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$36 x^{2} - 144 x + 60 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $12$ de $36 x^{2} - 144 x + 60$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 144 x + 60 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $12$ de $- 144 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 12 x) + 60 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $12$ de $60$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 12 x) + 12 (5) = 0$

Paso 1.2.2.4

Factoriza $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 12 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 12 x) + 12 (5) = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza $12$ de $12 (3 x^{2} - 12 x) + 12 (5)$ .

$12 (3 x^{2} - 12 x + 5) = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $12 (3 x^{2} - 12 x + 5) = 0$ por $12$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $12 (3 x^{2} - 12 x + 5) = 0$ por $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 12 x + 5)}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (3 x^{2} - 12 x + 5)}{12} = \frac{0}{12}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $3 x^{2} - 12 x + 5$ por $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 5 = \frac{0}{12}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $12$ .

$3 x^{2} - 12 x + 5 = 0$

Paso 1.2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 12$ y $c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 60}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.3

Resta $60$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Paso 1.2.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{21}}{3}$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 60}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.3

Resta $60$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.4

Reescribe $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Paso 1.2.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{21}}{3}$

Paso 1.2.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{6 + \sqrt{21}}{3}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.8.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 60}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.3

Resta $60$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.4

Reescribe $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Paso 1.2.8.1.4.1

Factoriza $4$ de $84$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$

Paso 1.2.8.3

Simplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{21}}{3}$

Paso 1.2.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{6 - \sqrt{21}}{3}$

Paso 1.2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \frac{6 - \sqrt{21}}{3}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0 + 60$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 144 \cdot 0 + 60$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 144 \cdot 0 + 60$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 144$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 60$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 + 60$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $60$ .

$f'' (0) = 60$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $60$ .

$60$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = 36 {(2)}^{2} - 144 \cdot 2 + 60$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = 36 \cdot 4 - 144 \cdot 2 + 60$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $36$ por $4$ .

$f'' (2) = 144 - 144 \cdot 2 + 60$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 144$ por $2$ .

$f'' (2) = 144 - 288 + 60$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $288$ de $144$ .

$f'' (2) = - 144 + 60$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 144$ y $60$ .

$f'' (2) = - 84$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 84$ .

$- 84$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ porque $f'' (2)$ es negativa.

Cóncavo en $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f'' (6) = 36 {(6)}^{2} - 144 \cdot 6 + 60$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = 36 \cdot 36 - 144 \cdot 6 + 60$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $36$ por $36$ .

$f'' (6) = 1296 - 144 \cdot 6 + 60$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 144$ por $6$ .

$f'' (6) = 1296 - 864 + 60$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $864$ de $1296$ .

$f'' (6) = 432 + 60$

Paso 6.2.2.2

Suma $432$ y $60$ .

$f'' (6) = 492$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $492$ .

$492$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ porque $f'' (6)$ es positiva.

Convexo en $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8