Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$f' (x) = \frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.2.1.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ como ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$

Paso 1.1.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{- 2}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Paso 1.1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 1.1.2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 1.1.2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{{(x - 1)}^{3}})$

Paso 1.1.2.4.2

Combina $4$ y $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 = 0$

Paso 1.2.3

Como $4 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{x + 1}{x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 1 = 0$

Paso 2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{4}{{((0) - 1)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.1

Resta $1$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{4}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{4}{- 1}$

Paso 4.2.2

Divide $4$ por $- 1$ .

$f'' (0) = - 4$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, 1)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = \frac{4}{{((4) - 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1

Resta $1$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{4}{3^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{4}{27}$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $\frac{4}{27}$ .

$\frac{4}{27}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ es positiva.

Convexo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7