Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 4}{x^{3}}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 4$ y $g (x) = x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 1.1.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.2.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.2.5.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} - (x - 4) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.2.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.1.2.7.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} - 3 (x - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.2.7.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} - 3 (x - 4) x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.7.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x - 3 (x - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.2.7.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 (x - 4) x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 4))}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.2.7.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 4))$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x - 3 (x - 4))}{x^{6}}$

Paso 1.1.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x - 3 (x - 4))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 1.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{x^{2} (x - 3 (x - 4))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 1.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x - 3 (x - 4)}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 3 x - 3 \cdot - 4}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{x - 3 x + 12}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta $3 x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x + 12}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4.3

Factoriza $2$ de $- 2 x + 12$ .

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Paso 1.1.1.4.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x) + 12}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4.3.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x) + 2 (6)}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (6)$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x + 6)}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- (x) + 6)}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4.5

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot - 6)}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{2 (- (x - 6))}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4.7

Reescribe $- (x - 6)$ como $- 1 (x - 6)$ .

$f' (x) = \frac{2 (- 1 (x - 6))}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 6)}{x^{4}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 (x - 6)}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x - 6}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.3.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} - (x - 6) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} - (x - 6) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.3.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.2.3.7.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{4} - 4 (x - 6) x^{3}}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.3.7.2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} - 4 (x - 6) x^{3}$ .

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Paso 1.1.2.3.7.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{3} x - 4 (x - 6) x^{3}}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.3.7.2.2

Factoriza $x^{3}$ de $- 4 (x - 6) x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{3} x + x^{3} (- 4 (x - 6))}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.3.7.2.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} (- 4 (x - 6))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{3} (x - 4 (x - 6))}{x^{8}}$

Paso 1.1.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.4.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{3} (x - 4 (x - 6))}{x^{3} x^{5}}$

Paso 1.1.2.4.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{3} (x - 4 (x - 6))}{x^{3} x^{5}}$

Paso 1.1.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 4 (x - 6)}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.5

Combina $- 2$ y $\frac{x - 4 (x - 6)}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x - 4 (x - 6))}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(2) (x - 4 (x - 6))}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica.

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Paso 1.1.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (x - 4 x - 4 \cdot - 6)}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x + 2 (- 4 x) + 2 (- 4 \cdot - 6)}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.3.1.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x - 8 x + 2 (- 4 \cdot - 6)}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.3.1.2

Multiplica $2 (- 4 \cdot - 6)$ .

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Paso 1.1.2.7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x - 8 x + 2 \cdot 24}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $24$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x - 8 x + 48}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.3.2

Resta $8 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x + 48}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.4

Factoriza $6$ de $- 6 x + 48$ .

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Paso 1.1.2.7.4.1

Factoriza $6$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- x) + 48}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.4.2

Factoriza $6$ de $48$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- x) + 6 (8)}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.4.3

Factoriza $6$ de $6 (- x) + 6 (8)$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- x + 8)}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- (x) + 8)}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.6

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- (x - 8))}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.8

Reescribe $- (x - 8)$ como $- 1 (x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- 1 (x - 8))}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{6 (x - 8)}{x^{5}}$

Paso 1.1.2.7.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{6 (x - 8)}{x^{5}})$

Paso 1.1.2.7.11

Multiplica $\frac{6 (x - 8)}{x^{5}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 (x - 8)}{x^{5}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{6 (x - 8)}{x^{5}}$ .

$\frac{6 (x - 8)}{x^{5}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{6 (x - 8)}{x^{5}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{6 (x - 8)}{x^{5}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$6 (x - 8) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $6 (x - 8) = 0$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide cada término en $6 (x - 8) = 0$ por $6$ .

$\frac{6 (x - 8)}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 1.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (x - 8)}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 1.2.3.1.2.1.2

Divide $x - 8$ por $1$ .

$x - 8 = \frac{0}{6}$

Paso 1.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$x - 8 = 0$

Paso 1.2.3.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x - 4}{x^{3}}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{x - 4}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 2.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{6 ((- 2) - 8)}{{(- 2)}^{5}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.1

Resta $8$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{6 \cdot - 10}{{(- 2)}^{5}}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$f'' (- 2) = \frac{6 \cdot - 10}{- 32}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 10$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 60}{- 32}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $- 60$ y $- 32$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 60$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 15}{- 32}$

Paso 4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 32$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 15}{- 4 \cdot 8}$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 15}{- 4 \cdot 8}$

Paso 4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{15}{8}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\frac{15}{8}$ .

$\frac{15}{8}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, 8)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = \frac{6 ((4) - 8)}{{(4)}^{5}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Resta $8$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot - 4}{4^{5}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot - 4}{1024}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$f'' (4) = \frac{- 24}{1024}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $- 24$ y $1024$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $8$ de $- 24$ .

$f'' (4) = \frac{8 (- 3)}{1024}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $8$ de $1024$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 128}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 128}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (4) = \frac{- 3}{128}$

Paso 5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (4) = - \frac{3}{128}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \frac{3}{128}$ .

$- \frac{3}{128}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(0, 8)$ porque $f'' (4)$ es negativa.

Cóncavo en $(0, 8)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(8, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f'' (10) = \frac{6 ((10) - 8)}{{(10)}^{5}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1.1

Resta $8$ de $10$ .

$f'' (10) = \frac{6 \cdot 2}{10^{5}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $10$ a la potencia de $5$ .

$f'' (10) = \frac{6 \cdot 2}{100000}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $6$ por $2$ .

$f'' (10) = \frac{12}{100000}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $12$ y $100000$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f'' (10) = \frac{4 (3)}{100000}$

Paso 6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $100000$ .

$f'' (10) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 25000}$

Paso 6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (10) = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 25000}$

Paso 6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (10) = \frac{3}{25000}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{3}{25000}$ .

$\frac{3}{25000}$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(8, \infty)$ porque $f'' (10)$ es positiva.

Convexo en $(8, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(0, 8)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(8, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8