Cálculo Ejemplos

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{2}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $10$ .

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.1.1.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.1.1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 1.1.1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Paso 1.1.1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

Paso 1.1.1.3.7

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x - 20 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $20$ por $1$ .

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.1.2.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.1.2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 1.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 1.1.2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 1.1.2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

Paso 1.1.2.3.7

Multiplica $- 2$ por $- 20$ .

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $20 + 40 \sin (2 x)$ .

$20 + 40 \sin (2 x)$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

Paso 1.2.2

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$40 \sin (2 x) = - 20$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $40 \sin (2 x) = - 20$ por $40$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $40 \sin (2 x) = - 20$ por $40$ .

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $40$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Cancela el factor común de $- 20$ y $40$ .

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Paso 1.2.3.3.1.1

Factoriza $20$ de $- 20$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

Paso 1.2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.3.1.2.1

Factoriza $20$ de $40$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 1.2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Paso 1.2.6

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Divide cada término en $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Paso 1.2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Paso 1.2.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.6.3.2

Multiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.6.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Paso 1.2.6.3.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Paso 1.2.7

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 1.2.8.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 1.2.8.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Paso 1.2.8.3

Divide cada término en $2 x = \frac{7 π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.8.3.1

Divide cada término en $2 x = \frac{7 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 1.2.8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.8.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.8.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 1.2.8.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 1.2.8.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.8.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.2.8.3.3.2

Multiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.8.3.3.2.1

Multiplica $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Paso 1.2.8.3.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Paso 1.2.9

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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Paso 1.2.9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.9.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 1.2.9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 1.2.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.9.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 1.2.9.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.2.10

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 1.2.10.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{12}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Paso 1.2.10.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Paso 1.2.10.3

Combina fracciones.

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Paso 1.2.10.3.1

Combina $π$ y $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Paso 1.2.10.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Paso 1.2.10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.10.4.1

Mueve $12$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Paso 1.2.10.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Paso 1.2.10.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{12}$

Paso 1.2.11

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

Paso 4.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $40$ por $0$ .

$f'' (0) = 20 + 0$

Paso 4.2.2

Suma $20$ y $0$ .

$f'' (0) = 20$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $20$ .

$20$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5