Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Escribe $y = x^{\frac{2}{3}}$ como una función.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 2.1.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 2.1.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 2.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 2.1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Paso 2.1.1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Paso 2.1.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 2.1.1.7

Simplifica.

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Paso 2.1.1.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.1.1.7.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.1.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Paso 2.1.2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Paso 2.1.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.1.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Paso 2.1.2.7.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Paso 2.1.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2.9

Combina $x^{- \frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 2.1.2.10

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Paso 2.1.2.11

Multiplica.

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Paso 2.1.2.11.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Paso 2.1.2.11.2

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 2.2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 3.2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

La gráfica es cóncava porque la segunda derivada es negativa.

La gráfica es cóncava.

Paso 5