Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{x - 6}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{x^{2}}{x - 6}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 6}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 6$ .

$\frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x - 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 6$ .

$\frac{2 \cdot (x - 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.5

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.4

Factoriza $x$ de $x^{2} - 12 x$ .

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Paso 2.1.1.3.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.4.2

Factoriza $x$ de $- 12 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.4.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 12$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x \frac{d}{d x} [x - 12] + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia.

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Paso 2.1.2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.3

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + (x - 12) \cdot 1) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1.2.4.6.1

Multiplica $x - 12$ por $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + x - 12) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.4.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 6$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1.2.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.2

Factoriza $x - 6$ de ${(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])$ .

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Paso 2.1.2.6.2.1

Factoriza $x - 6$ de ${(x - 6)}^{2} (2 x - 12)$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.2.2

Factoriza $x - 6$ de $- 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) + (x - 6) (- 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.6.2.3

Factoriza $x - 6$ de $(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) + (x - 6) (- 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{{(x - 6)}^{4}}$

Paso 2.1.2.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.7.1

Factoriza $x - 6$ de ${(x - 6)}^{4}$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.10

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) \cdot 1}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.11.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12)}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12

Simplifica.

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Paso 2.1.2.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.12.2.1.1

Expande $(x - 6) (2 x - 12)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.12.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x - 12) - 6 (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.12.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.12.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.12.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.2.1.3

Mueve $- 12$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 \cdot x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.2.1.5

Multiplica $- 6$ por $- 12$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.2.2

Resta $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.12.2.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} + 24 x$ .

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Paso 2.1.2.12.2.2.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 24 x + 72 + 0 + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.2.2

Suma $- 24 x + 72$ y $0$ .

$\frac{- 24 x + 72 + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.2.3

Suma $- 24 x$ y $24 x$ .

$\frac{0 + 72}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.2.12.2.2.4

Suma $0$ y $72$ .

$f'' (x) = \frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{72}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{72}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$72 = 0$

Paso 2.2.3

Como $72 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 6}$ .

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2}}{x - 6}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 6 = 0$

Paso 3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 6}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 6}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 6)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{72}{{((0) - 6)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1

Resta $6$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{72}{{(- 6)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{72}{- 216}$

Paso 5.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $72$ y $- 216$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Factoriza $72$ de $72$ .

$f'' (0) = \frac{72 (1)}{- 216}$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Factoriza $72$ de $- 216$ .

$f'' (0) = \frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

Paso 5.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

Paso 5.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{1}{- 3}$

Paso 5.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, 6)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, 6)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(6, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f'' (8) = \frac{72}{{((8) - 6)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Resta $6$ de $8$ .

$f'' (8) = \frac{72}{2^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (8) = \frac{72}{8}$

Paso 6.2.2

Divide $72$ por $8$ .

$f'' (8) = 9$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $9$ .

$9$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(6, \infty)$ porque $f'' (8)$ es positiva.

Convexo en $(6, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, 6)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(6, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8