Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Escribe $y = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ como una función.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.6

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.6.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.6.3

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.1.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.1.1.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Paso 2.1.1.10

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Paso 2.1.1.10.2

Combina $2$ y $\frac{2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

Paso 2.1.1.10.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}} x$

Paso 2.1.1.10.4

Combina $\frac{4}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.8.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.9

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.9.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.9.3

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.9.4

Combina $\frac{1}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ y $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.12

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.13

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.13.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.13.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.13.3

Combina $- 2$ y $\frac{x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.13.4

Combina $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ y $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.17

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.19

Para escribir ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.20

Combina ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.22

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.22.1

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.22.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.22.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.22.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.22.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.23

Simplifica ${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.24

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.25

Reescribe $\frac{\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ como un producto.

$\frac{4}{3} (\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.26

Multiplica $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.27

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.27.1

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 2.1.2.27.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.27.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Paso 2.1.2.27.4

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.28

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Paso 2.1.2.29

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} + 1) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.30

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.30.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.30.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.30.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.30.3.1.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot 1) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.30.3.1.2

Multiplica $4 (3 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.30.3.1.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.30.3.1.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 x^{2} + 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.30.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{12 x^{2} + 12 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.30.3.2

Resta $8 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.30.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.30.4.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 12}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.30.4.2

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2.30.4.3

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 (x^{2} + 3) = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Divide cada término en $4 (x^{2} + 3) = 0$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1.1

Divide cada término en $4 (x^{2} + 3) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x^{2} + 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.2.3.1.2.1.2

Divide $x^{2} + 3$ por $1$ .

$x^{2} + 3 = \frac{0}{4}$

Paso 2.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 2.2.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 3$

Paso 2.2.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 2.2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.4.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 2.2.3.4.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 2.2.3.4.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

Paso 2.2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 2.2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[3]{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} + 3)}{9 {({(0)}^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 (0 + 3)}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 5.2.1.2

Suma $0$ y $3$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0^{2} + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

Paso 5.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$f'' (0) = \frac{12}{9 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{12}{9}$

Paso 5.2.3.3

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$f'' (0) = \frac{3 (4)}{9}$

Paso 5.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Paso 5.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Paso 5.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

La gráfica es convexa.

Paso 6