Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ como una función.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x^{2} - 1$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.2.6.1

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.3.5.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.3.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.3.5.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.3.5.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 2 x$ .

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Paso 2.1.1.3.5.2.1

Resta $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.2.2

Suma $- 4 x$ y $0$ .

$\frac{- 4 x + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.3

Suma $- 4 x$ y $2 x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.3.7.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7.3

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$

Paso 2.1.2.2

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ y $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Diferencia.

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Paso 2.1.2.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot {(x + 1)}^{2} (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.6.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.1.2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.8

Diferencia.

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Paso 2.1.2.8.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot {(x - 1)}^{2} (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.8.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.8.5

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.8.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.8.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.8.5.3

Combina $- 2$ y $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.8.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9

Simplifica.

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Paso 2.1.2.9.1

Aplica la regla del producto a ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.9.4.1

Factoriza $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

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Paso 2.1.2.9.4.1.1

Factoriza $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.1.2

Factoriza $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.1.3

Factoriza $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.1.4

Factoriza $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.1.5

Factoriza $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.2

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.4.3.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.4.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.4.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.4.3.4.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.4.3.7.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.4

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.4.4.1

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.4.2

Suma $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ y $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.5

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.4.6

Resta $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.5.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9.5.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.9.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.9.5.3

Cancela el factor común de $x + 1$ y ${(x + 1)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.5.3.1

Factoriza $x + 1$ de $2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.9.5.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.5.3.2.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Paso 2.1.2.9.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Paso 2.1.2.9.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{(2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.9.5.4

Cancela el factor común de $x - 1$ y ${(x - 1)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.5.4.1

Factoriza $x - 1$ de $2 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.1.2.9.5.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.9.5.4.2.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Paso 2.1.2.9.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Paso 2.1.2.9.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.9.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.9.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.9.8

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.9.9

Reescribe $- (3 x^{2} + 1)$ como $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.9.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.9.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.1.2.9.12

Multiplica $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (3 x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Divide cada término en $2 (3 x^{2} + 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1.1

Divide cada término en $2 (3 x^{2} + 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.3.1.2.1.2

Divide $3 x^{2} + 1$ por $1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{0}{2}$

Paso 2.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = - 1$

Paso 2.2.3.3

Divide cada término en $3 x^{2} = - 1$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.2.3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.2.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Paso 2.2.3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Paso 2.2.3.5

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.2.3.5.1

Reescribe $- \frac{1}{3}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.5.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Paso 2.2.3.5.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Paso 2.2.3.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Paso 2.2.3.5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 2.2.3.5.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.5.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.5.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 2.2.3.5.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.3.5.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.5.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.3.5.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.2.3.5.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.3.5.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2.3.5.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.2.3.5.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.5.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.3.5.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.3.5.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.5.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.3.5.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.2.3.5.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.3.5.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 3.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 1}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 1}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} + 1)}{{((- 4) + 1)}^{3} {((- 4) - 1)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $48$ y $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 4$ y $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Resta $1$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 5)}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{- 27 {(- 5)}^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{- 27 \cdot - 125}$

Paso 5.2.3

Multiplica.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $49$ .

$f'' (- 4) = \frac{98}{- 27 \cdot - 125}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $- 27$ por $- 125$ .

$f'' (- 4) = \frac{98}{3375}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{98}{3375}$ .

$\frac{98}{3375}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} + 1)}{{((0) + 1)}^{3} {((0) - 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $- 1 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot (0 - 1))}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Aplica la regla del producto a $- 1 \cdot (0 - 1)$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Paso 6.2.2.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica ${(0 - 1)}^{3}$ por ${(0 - 1)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.6.1

Mueve ${(0 - 1)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Paso 6.2.2.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3 + 3}}$

Paso 6.2.2.6.3

Suma $3$ y $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Paso 6.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Paso 6.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.4.1

Resta $1$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 {(- 1)}^{6}}$

Paso 6.2.4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 \cdot 1}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1}$

Paso 6.2.5.2

Divide $2$ por $- 1$ .

$f'' (0) = - 2$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 1, 1)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 1, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = \frac{2 (3 {(4)}^{2} + 1)}{{((4) + 1)}^{3} {((4) - 1)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = \frac{2 (3 \cdot 16 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f'' (4) = \frac{2 (48 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.3

Suma $48$ y $1$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Suma $4$ y $1$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{5^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{5^{3} \cdot 3^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{125 \cdot 3^{3}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{125 \cdot 27}$

Paso 7.2.3

Multiplica.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $2$ por $49$ .

$f'' (4) = \frac{98}{125 \cdot 27}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $125$ por $27$ .

$f'' (4) = \frac{98}{3375}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{98}{3375}$ .

$\frac{98}{3375}$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ es positiva.

Convexo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 1, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9