Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Escribe $y = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$ como una función.

$f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.1.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.1.2.5.2

Resta $3$ de $4$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 2.1.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.1.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.1.3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 2.1.1.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 2.1.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 2.1.1.3.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 2.1.1.3.9

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.1.4

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.9

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.2.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Paso 2.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Paso 2.1.2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.1.2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.1.2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.1.2.3.5.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.5.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.1.2.3.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.1.2.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.1.2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 2.1.2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.1.2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.1.2.3.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Paso 2.1.2.3.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Paso 2.1.2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Paso 2.1.2.3.11

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 2.1.2.3.12

Combina $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 2.1.2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.13.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Paso 2.1.2.3.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 2.1.2.3.13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Paso 2.1.2.3.13.4

Resta $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Paso 2.1.2.3.13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Paso 2.1.2.3.14

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Paso 2.1.2.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.1.2.3.16

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.1.2.3.17

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Paso 2.1.2.3.18

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Paso 2.2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

Paso 2.2.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

Paso 2.2.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.2.2.4

$9$ tiene factores de $3$ y $3$ .

$3 \cdot 3$

Paso 2.2.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.2.2.6

El MCM de $9, 9, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3 \cdot 3$

Paso 2.2.2.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$9$

Paso 2.2.2.8

El MCM de $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{5}{3}}$

Paso 2.2.2.9

El MCM para $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ es la parte numérica $9$ multiplicada por la parte variable.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Paso 2.2.3

Multiplica cada término en $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{5}{3}}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1.3.1

Factoriza $x^{\frac{2}{3}}$ de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.4

Divide $3$ por $3$ .

$4 x^{1} + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.5

Simplifica.

$4 x + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.7

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1.7.1

Cancela el factor común.

$4 x + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.7.2

Reescribe la expresión.

$4 x + \frac{2}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.8

Cancela el factor común de $x^{\frac{5}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1.8.1

Cancela el factor común.

$4 x + \frac{2}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.2.1.8.2

Reescribe la expresión.

$4 x + 2 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 2.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.1

Multiplica $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.1.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$4 x + 2 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Paso 2.2.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 x + 2 = 0$

Paso 2.2.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 2$

Paso 2.2.4.2

Divide cada término en $4 x = - 2$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1

Divide cada término en $4 x = - 2$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Paso 2.2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Paso 2.2.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{4}$

Paso 2.2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x = \frac{2 (- 1)}{4}$

Paso 2.2.4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.2.4.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[3]{x^{4}} - x^{\frac{1}{3}}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[3]{x^{4}} - \sqrt[3]{x^{1}}$

Paso 3.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\sqrt[3]{x^{4}} - \sqrt[3]{x}$

Paso 3.2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = \frac{4}{9 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Para escribir $\frac{4}{9 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- 3)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{4}{9 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 3)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Multiplica $\frac{4}{9 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{{(- 3)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 3)}^{\frac{2}{3}} {(- 3)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica ${(- 3)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(- 3)}^{\frac{3}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Mueve ${(- 3)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 3)}^{\frac{3}{3}} {(- 3)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 3)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 3)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.2.2.4

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{3}{3}} + 2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Divide $3$ por $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{4 (- 3) + 2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.4.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (- 3) = \frac{4 \cdot - 3 + 2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 12 + 2}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.4.4

Suma $- 12$ y $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 10}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 3) = - \frac{10}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $- \frac{10}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{10}{9 {(- 3)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ porque $f'' (- 3)$ es positiva.

La gráfica es convexa.

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

La gráfica es convexa.

Paso 7