Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 5 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$7 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$7 + 5 (- x^{- 2})$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$7 - 5 x^{- 2}$

Paso 1.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 5 x^{- 2} + 7$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 x^{- 2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 x^{- 3} + 0$

Paso 1.1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $10 x^{- 3}$ y $0$ .

$10 x^{- 3}$

Paso 1.1.2.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.4.3

Combina $10$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{10}{x^{3}}$ .

$\frac{10}{x^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{10}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{10}{x^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$10 = 0$

Paso 1.2.3

Como $10 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Establece la base en $x^{- 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{10}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{10}{- 8}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $10$ y $- 8$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (5)}{- 8}$

Paso 4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Paso 4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{5}{- 4}$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 2) = - \frac{5}{4}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{10}{{(2)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = \frac{10}{8}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $10$ y $8$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f'' (2) = \frac{2 (5)}{8}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (2) = \frac{5}{4}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7