Cálculo Ejemplos

$g (x) = 7 (\sqrt[3]{x})$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.1.1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.1.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.1.1.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.1.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.1.1.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$7 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.1.1.10

Combina $7$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.1.1.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $\frac{7}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 1.1.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Paso 1.1.2.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Paso 1.1.2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Paso 1.1.2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Paso 1.1.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.2.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Paso 1.1.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Paso 1.1.2.9

Combina $x^{- \frac{5}{3}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{7}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Paso 1.1.2.10

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{7 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3 \cdot 3}$

Paso 1.1.2.11

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.11.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$- \frac{14 x^{- \frac{5}{3}}}{3 \cdot 3}$

Paso 1.1.2.11.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{14 x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Paso 1.1.2.11.3

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$14 = 0$

Paso 1.2.3

Como $14 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

La gráfica es cóncava porque la segunda derivada es negativa.

La gráfica es cóncava.

Paso 4