Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} \ln (x)$

Paso 1

Escribe $y = x^{4} \ln (x)$ como una función.

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 2.1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.1.3.1

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 2.1.1.3.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 2.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 2.1.1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 2.1.1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 2.1.1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 2.1.1.3.2.2.5

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 2.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

Paso 2.1.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Paso 2.1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3} \ln (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.1.2.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

Paso 2.1.2.2.5

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Paso 2.1.2.2.6

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 2.1.2.2.6.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Paso 2.1.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Paso 2.1.2.2.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Paso 2.1.2.2.6.2.3

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Paso 2.1.2.2.6.2.4

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Paso 2.1.2.2.6.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Paso 2.1.2.3

Simplifica.

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Paso 2.1.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (\ln (x) (3 x^{2}))$

Paso 2.1.2.3.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.2.3.2.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 (\ln (x) (x^{2}))$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $3 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 \ln (x) x^{2}$

Paso 2.1.2.3.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$ .

$7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x) = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x) = 0$

Paso 2.2.2

Resta $7 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$

Paso 2.2.3

Divide cada término en $12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$ por $12 x^{2}$ y simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Divide cada término en $12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$ por $12 x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2} \ln (x)}{12 x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{2} \ln (x)}{12 x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Paso 2.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Paso 2.2.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) = \frac{- 7}{12}$

Paso 2.2.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) = - \frac{7}{12}$

Paso 2.2.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{7}{12}}$

Paso 2.2.5

Reescribe $\ln (x) = - \frac{7}{12}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{7}{12}} = x$

Paso 2.2.6

Resuelve $x$

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Paso 2.2.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- \frac{7}{12}}$ .

$x = e^{- \frac{7}{12}}$

Paso 2.2.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = x^{4} \ln (x)$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 3.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.28$ en la expresión.

$f'' (0.28) = 7 {(0.28)}^{2} + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $0.28$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.28) = 7 \cdot 0.0784 + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $7$ por $0.0784$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Paso 5.2.1.3

Eleva $0.28$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 12 \cdot (0.0784 \ln (0.28))$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $12$ por $0.0784$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 0.9408 \ln (0.28)$

Paso 5.2.1.5

Simplifica $0.9408 \ln (0.28)$ al mover $0.9408$ dentro del algoritmo.

$f'' (0.28) = 0.5488 + \ln ({0.28}^{0.9408})$

Paso 5.2.1.6

Eleva $0.28$ a la potencia de $0.9408$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + \ln (0.3019161)$

Paso 5.2.2

Suma $0.5488$ y $\ln (0.3019161)$ .

$f'' (0.28) = - 0.6488061$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.6488061$ .

$- 0.6488061$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ porque $f'' (0.28)$ es negativa.

Cóncavo en $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = 7 {(3)}^{2} + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = 7 \cdot 9 + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $7$ por $9$ .

$f'' (3) = 63 + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Paso 6.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = 63 + 12 \cdot (9 \ln (3))$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $12$ por $9$ .

$f'' (3) = 63 + 108 \ln (3)$

Paso 6.2.1.5

Simplifica $108 \ln (3)$ al mover $108$ dentro del algoritmo.

$f'' (3) = 63 + \ln (3^{108})$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $63 + \ln (3^{108})$ .

$63 + \ln (3^{108})$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ porque $f'' (3)$ es positiva.

Convexo en $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8