Cálculo Ejemplos

$y = x - \sin (x)$

Paso 1

Escribe $y = x - \sin (x)$ como una función.

$f (x) = x - \sin (x)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 2.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 2.1.2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Paso 2.1.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Paso 2.1.2.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Paso 2.1.2.3

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\sin (x) = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 2.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 2.2.5

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 2.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.2.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.2.8

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \sin (0)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f'' (0) = 0$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6