Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - x$ , $[0, 4]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = x^{3} - x$ es continua.

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Paso 2.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[0, 4]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(0, 4)$ .

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Paso 4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(0, 4)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(0, 4)$ porque la derivada es continua en $(0, 4)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[0, 4]$ y diferenciable en $(0, 4)$ .

$f (x)$ es continua en $[0, 4]$ y diferenciable en $(0, 4)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[0, 4]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{3} - (0)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - (0)$

Paso 7.2.2

Resta $0$ de $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 8

Evalúa $f (b)$ del intervalo $[0, 4]$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = {(4)}^{3} - (4)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (4) = 64 - (4)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (4) = 64 - 4$

Paso 8.2.2

Resta $4$ de $64$ .

$f (4) = 60$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $60$ .

$60$

Paso 9

Resuelve $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (4) + f (0))}{- (4 + 0)}$ .

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Paso 9.1

Simplifica $\frac{(60) - (0)}{(4) - (0)}$ .

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Paso 9.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60 + 0}{4 - (0)}$

Paso 9.1.1.2

Suma $60$ y $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 - (0)}$

Paso 9.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 + 0}$

Paso 9.1.2.2

Suma $4$ y $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4}$

Paso 9.1.3

Divide $60$ por $4$ .

$3 x^{2} - 1 = 15$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 15 + 1$

Paso 9.2.2

Suma $15$ y $1$ .

$3 x^{2} = 16$

Paso 9.3

Divide cada término en $3 x^{2} = 16$ por $3$ y simplifica.

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Paso 9.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 16$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Paso 9.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{3}$

Paso 9.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

Paso 9.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ .

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Paso 9.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{16}{3}}$ como $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.5.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

Paso 9.5.3

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.5.4.1

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 9.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 9.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 9.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 9.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 9.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Paso 10

Se halla una tangente en $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 4$ .

Hay una tangente en $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 4$ .

Paso 11

Se halla una tangente en $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 4$ .

Hay una tangente en $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 4$ .

Paso 12