Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 1, 8]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ es continua.

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Paso 2.1

Para determinar si la función es continua en $[- 1, 8]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 2.1.2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[- 1, 8]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 3.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Paso 3.1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Paso 3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 3.1.7

Simplifica.

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Paso 3.1.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.1.7.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(- 1, 8)$ .

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Paso 4.1

Para determinar si la función es continua en $(- 1, 8)$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Paso 4.1.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 4.1.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Paso 4.1.2

Establece el denominador en $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Paso 4.1.3

Resuelve $x$

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Paso 4.1.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.1.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.1.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 x = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x = 0$

Paso 4.1.3.3

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 4.1.3.3.1

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 4.1.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.3.3.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 4.1.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 4.1.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Paso 4.1.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.3.3.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x = 0$

Paso 4.1.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 4.2

$f' (x)$ no es continua en $(- 1, 8)$ porque $0$ no está en el dominio de $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

La función no es continua.

Paso 5

La función no es diferenciable en $(- 1, 8)$ porque la derivada $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ no es continua en $(- 1, 8)$ .

La función no es diferenciable.

Paso 6