Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + x - 1$ , $(0, 2)$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = x^{3} + x - 1$ es continua.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[0, 2]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $3 x^{2} + 1$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 1$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + 1$ .

$3 x^{2} + 1$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(0, 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(0, 2)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(0, 2)$ porque la derivada es continua en $(0, 2)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[0, 2]$ y diferenciable en $(0, 2)$ .

$f (x)$ es continua en $[0, 2]$ y diferenciable en $(0, 2)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[0, 2]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

Paso 7.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Paso 7.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Paso 7.2.4

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = - 1$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 8

Evalúa $f (b)$ del intervalo $[0, 2]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

Paso 8.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 8 + 2 - 1$

Paso 8.2.3

Suma $8$ y $2$ .

$f (2) = 10 - 1$

Paso 8.2.4

Resta $1$ de $10$ .

$f (2) = 9$

Paso 8.2.5

La respuesta final es $9$ .

$9$

Paso 9

Resuelve $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica $\frac{(9) - (- 1)}{(2) - (0)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{9 + 1}{2 - (0)}$

Paso 9.1.1.2

Suma $9$ y $1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 - (0)}$

Paso 9.1.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 + 0}$

Paso 9.1.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2}$

Paso 9.1.3

Divide $10$ por $2$ .

$3 x^{2} + 1 = 5$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 5 - 1$

Paso 9.2.2

Resta $1$ de $5$ .

$3 x^{2} = 4$

Paso 9.3

Divide cada término en $3 x^{2} = 4$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 9.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Paso 9.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 9.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.5.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.5.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 9.5.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.5.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 9.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 9.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 9.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 9.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 9.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 10

Se halla una tangente en $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 2$ .

Hay una tangente en $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 2$ .

Paso 11

Se halla una tangente en $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 2$ .

Hay una tangente en $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 2$ .

Paso 12