Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[1, 8]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ es continua.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para determinar si la función es continua en $[1, 8]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 2.1.2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[1, 8]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 3.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Paso 3.1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Paso 3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 3.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.1.7.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(1, 8)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para determinar si la función es continua en $(1, 8)$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 4.1.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Paso 4.1.2

Establece el denominador en $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Paso 4.1.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 x = 0^{3}$

Paso 4.1.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x = 0$

Paso 4.1.3.3

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.3.1

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 4.1.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.3.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 4.1.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Paso 4.1.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.3.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x = 0$

Paso 4.1.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(1, 8)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(1, 8)$ porque la derivada es continua en $(1, 8)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[1, 8]$ y diferenciable en $(1, 8)$ .

$f (x)$ es continua en $[1, 8]$ y diferenciable en $(1, 8)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[1, 8]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 8

Evalúa $f (b)$ del intervalo $[1, 8]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (8) = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 8.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 8.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (8) = 2^{2}$

Paso 8.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (8) = 4$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 9

Resuelve $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Factoriza cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{4 - 1}{(8) - (1)}$

Paso 9.1.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{(8) - (1)}$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{8 - 1}$

Paso 9.1.4

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$

Paso 9.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 7$

Paso 9.2.2

Como $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $3, 7$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{\frac{1}{3}}$ .

Paso 9.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 9.2.4

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 9.2.5

Como $7$ no tiene factores además de $1$ y $7$ .

$7$ es un número primo

Paso 9.2.6

El MCM de $3, 7$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3 \cdot 7$

Paso 9.2.7

Multiplica $3$ por $7$ .

$21$

Paso 9.2.8

El MCM de $x^{\frac{1}{3}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{1}{3}}$

Paso 9.2.9

El MCM para $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ es la parte numérica $21$ multiplicada por la parte variable.

$21 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 9.3

Multiplica cada término en $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ por $21 x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ por $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (21 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$21 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$7 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 9.3.2.3

Combina $7$ y $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 9.3.2.4

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 9.3.2.5

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 9.3.2.5.2

Reescribe la expresión.

$14 = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.1.1

Factoriza $7$ de $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Paso 9.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Paso 9.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$14 = 3 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$14 = 9 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 9.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.1

Reescribe la ecuación como $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ .

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$

Paso 9.4.2

Divide cada término en $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ por $9$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.2.1

Divide cada término en $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ por $9$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Paso 9.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Paso 9.4.2.2.2

Divide $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{14}{9}$

Paso 9.4.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Paso 9.4.4

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Paso 9.4.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Paso 9.4.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Paso 9.4.4.1.1.2

Simplifica.

$x = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Paso 9.4.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.2.1

Simplifica ${(\frac{14}{9})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{14}{9}$ .

$x = \frac{14^{3}}{9^{3}}$

Paso 9.4.4.2.1.2

Eleva $14$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{2744}{9^{3}}$

Paso 9.4.4.2.1.3

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$x = \frac{2744}{729}$

Paso 10

Se halla una tangente en $x = \frac{2744}{729}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 1$ y $b = 8$ .

Hay una tangente en $x = \frac{2744}{729}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 1$ y $b = 8$ .

Paso 11